Эллипс

Определение 7.1. Множество всех точек на плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек F₁ и F₂ есть заданная постоянная величина, называют эллипсом.

Определение эллипса дает следующий способ его геометрического построения. Фиксируем на плоскости две точки F₁ и F₂, а неотрицательную постоянную величину обозначим через 2а. Пусть расстояние между точками F₁ и F₂ равно 2c. Представим себе, что нерастяжимая нить длиной 2а закреплена в точках F₁ и F₂, например, при помощи двух иголок. Ясно, что это возможно лишь при а ≥ с. Натянув нить карандашом, начертим линию, которая и будет эллипсом (рис. 7.1).

Итак, описываемое множество не пусто, если а ≥ с. При а = с эллипс представляет собой отрезок с концами F₁ и F₂, а при с = 0, т.е. если указанные в определении эллипса фиксированные точки совпадают, он является окружностью радиуса а. Отбрасывая эти вырожденные случаи, будем далее предполать, как правило, что а > с > 0.

Фиксированные точки F₁ и F₂ в определении 7.1 эллипса (см. рис. 7.1) называют фокусами эллипса, расстояние между ними, обозначенное через 2c, — фокальным расстоянием, а отрезки F₁M и F₂M, соединяющие произвольную точку M на эллипсе с его фокусами, — фокальными радиусами.

Вид эллипса полностью определяется фокальным расстоянием |F₁F₂| = 2с и параметром a, а его положение на плоскости — парой точек F₁ и F₂.

Из определения эллипса следует, что он симметричен относительно прямой, проходящей через фокусы F₁ и F₂, а также относительно прямой, которая делит отрезок F₁F₂ пополам и перпендикулярна ему (рис. 7.2, а). Эти прямые называют осями эллипса. Точка O их пересечения является центром симметрии эллипса, и ее называют центром эллипса, а точки пересечения эллипса с осями симметрии (точки A, B, C и D на рис. 7.2, а) — вершинами эллипса.

Число a называют большой полуосью эллипса, а b = √(a² — c²) — его малой полуосью. Нетрудно заметить, что при c > 0 большая полуось a равна расстоянию от центра эллипса до тех его вершин, которые находятся на одной оси с фокусами эллипса (вершины A и B на рис. 7.2, а), а малая полуось b равна расстоянию от центра эллипса до двух других его вершин (вершины C и D на рис. 7.2, а).

Уравнение эллипса. Рассмотрим на плоскости некоторый эллипс с фокусами в точках F₁ и F₂, большой осью 2a. Пусть 2c — фокальное расстояние, 2c = |F₁F₂| < 2a. Согласно определению 7.1 эллипса, его образуют те точки M, для которых |F₁M| + |F₂M| = 2a.

Выберем прямоугольную систему координат Oxy на плоскости так, чтобы ее начало совпало с центром эллипса, а фокусы находились на оси абсцисс (рис. 7.2, б). Такую систему координат называют канонической для рассматриваемого эллипса, а соответствующие переменные — каноническими.

В выбранной системе координат фокусы имеют координаты F₁(c;0), F₂(—c;0). Используя формулу расстояния между точками, запишем условие |F₁M| + |F₂M| = 2a в координатах:

√((x — c)² + y²) + √((x + c)² + y²) = 2a. (7.2)

Это уравнение неудобно, так как в нем присутствуют два квадратных радикала. Поэтому преобразуем его. Перенесем в уравнении (7.2) второй радикал в правую часть и возведем в квадрат:

(x — c)² + y² = 4a² — 4a√((x + c)² + y²) + (x + c)² + y².

После раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых получаем

√((x + c)² + y²) = a + εx

где ε = c/a. Повторяем операцию возведения в квадрат, чтобы убрать и второй радикал: (x + c)² + y² = a² + 2εax + ε²x², или, учитывая значение введенного параметра ε, (a² — c²) x²/a² + y² = a² - c². Так как a² — c² = b² > 0, то

x²/a² + y²/b² = 1, a > b > 0. (7.4)

Уравнению (7.4) удовлетворяют координаты всех точек, лежащих на эллипсе. Но при выводе этого уравнения использовались неэквивалентные преобразования исходного уравнения (7.2) — два возведения в квадрат, убирающие квадратные радикалы. Возведение уравнения в квадрат является эквивалентным преобразованием, если в обеих его частях стоят величины с одинаковым знаком, но мы этого в своих преобразованиях не проверяли.

Мы можем не проверять эквивалентность преобразований, если учтем следующее. Пара точек F₁ и F₂, |F₁F₂| = 2c, на плоскости определяет семейство эллипсов с фокусами в этих точках. Каждая точка плоскости, кроме точек отрезка F₁F₂, принадлежит какому-нибудь эллипсу указанного семейства. При этом никакие два эллипса не пересекаются, так как сумма фокальных радиусов однозначно определяет конкретный эллипс. Итак, описанное семейство эллипсов без пересечений покрывает всю плоскость, кроме точек отрезка F₁F₂. Рассмотрим множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению (7.4) с данным значением параметра a. Может ли это множество распределяться между несколькими эллипсами? Часть точек множества принадлежит эллипсу с большой полуосью a. Пусть в этом множестве есть точка, лежащая на эллипсе с большой полуосью а. Тогда координаты этой точки подчиняются уравнению

т.е. уравнения (7.4) и (7.5) имеют общие решения. Однако легко убедиться, что система

при ã ≠ a решений не имеет. Для этого достаточно исключить, например, x из первого уравнения:

что после преобразований приводит к уравнению

не имеющему решений при ã ≠ a, поскольку . Итак, (7.4) есть уравнение эллипса с большой полуосью a > 0 и малой полуосью b =√(a² — c²) > 0. Его называют каноническим уравнением эллипса.

Вид эллипса. Рассмотренный выше геометрический способ построения эллипса дает достаточное представление о внешнем виде эллипса. Но вид эллипса можно исследовать и с помощью его канонического уравнения (7.4). Например, можно, считая у ≥ 0, выразить у через x: y = b√( 1 — x²/a²), и, исследовав эту функцию, построить ее график. Есть еще один способ построения эллипса. Окружность радиуса a с центром в начале канонической системы координат эллипса (7.4) описывается уравнением x² + y² = а². Если ее сжать с коэффициентом a/b > 1 вдоль оси ординат, то получится кривая, которая описывается уравнением x² + (ya/b)² = a², т. е. эллипс.

Замечание 7.1. Если ту же окружность сжать с коэффициентом a/b < 1 вдоль оси ординат, т. е. фактически растянуть в этом направлении, то получится кривая, которая описывается уравнением (7.4), в котором a < b. Это тоже эллипс, но в системе координат Oxy (рис. 7.3) его фокусы расположены на вертикальной оси симметрии. Каноническую систему координат для этого эллипса можно получить в результате поворота системы Oxy на 90°, что соответствует замене переменных x' = y, y' = — x.

Эксцентриситет эллипса. Отношение фокального расстояния эллипса к его большой оси называют эксцентриситетом эллипса и обозначают через ε. Для эллипса, заданного

каноническим уравнением (7.4), ε = 2c/2a = с/a. Если же в (7.4) параметры a и b связаны неравенством a < b, то фокусы расположены на вертикальной оси симметрии эллипса, с = √(b² — a²), ε = 2c/2b = c/b.

При с =0, когда эллипс превращается в окружность, и ε = 0. В остальных случаях 0 < ε < 1. Если зафиксировать фокусы эллипса и менять его форму, устремляя эксцентриситет к единице, то в пределе получим отрезок, соединяющий фокусы, который можно назвать вырожденным эллипсом с a = с и b = 0. Если же, наоборот, зафиксировать параметр a и устремить ε к нулю, то в пределе мы получим окружность радиуса a. Эта предельная ситуация соответствует равенству параметров a и b уравнения (7.4).

Уравнение (7.3) эквивалентно уравнению (7.4), поскольку эквивалентны уравнения (7.4) и (7.2) . Поэтому уравнением эллипса является и (7.3). Кроме того, соотношение (7.3) интересно тем, что дает простую, не содержащую радикалов, формулу для длины |F₂M| одного из фокальных радиусов точки M(x; у) эллипса: |F₂M| = a + εx.

Аналогичная формула для второго фокального радиуса может быть получена из соображений симметрии либо повторением выкладок, в которых перед возведением в квадрат уравнения (7.2) в правую часть переносится первый радикал, а не второй. Итак, для любой точки M(x; у) на эллипсе (см. рис. 7.2)

|F₁M | = a — εx, |F₂M| = a + εx, (7.6)

и каждое из этих уравнений является уравнением эллипса.

Пример 7.1. Найдем каноническое уравнение эллипса с большой полуосью 5 и эксцентриситетом 0,8 и построим его.

Зная большую полуось эллипса a = 5 и эксцентриситет ε = 0,8, найдем его малую полуось b. Поскольку b = √(a² — с²), а с = εa = 4, то b = √(5² — 4²) = 3. Значит каноническое уравнение имеет вид x²/5² + y²/3² = 1. Для построения эллипса удобно изобразить прямоугольник с центром в начале канонической системы координат, стороны которого параллельны осям симметрии эллипса и равны его соответствующим осям (рис. 7.4). Этот прямоугольник пересекается с

осями эллипса в его вершинах A(—5; 0), B(5; 0), C(0; -3), D(0; 3), причем сам эллипс вписан в него. На рис. 7.4 указаны также фокусы F_1,2(±4; 0) эллипса.

Геометрические свойства эллипса. Перепишем первое уравнение в (7.6) в виде |F₁M| = (а/ε — x)ε. Отметим, что величина а/ε — x при а > с положительна, так как фокус F₁ не принадлежит эллипсу. Эта величина представляет собой расстояние до вертикальной прямой d: x = а/ε от точки M(x; у), лежащей левее этой прямой. Уравнение эллипса можно записать в виде

|F₁M|/(а/ε — x) = ε

Оно означает, что этот эллипс состоит из тех точек M(x; у) плоскости, для которых отношение длины фокального радиуса F₁M к расстоянию до прямой d есть величина постоянная, равная ε (рис. 7.5).

У прямой d есть " двойник " — вертикальная прямая d', симметричная d относительно центра эллипса, которая задается уравнением x = —а/ε. Относительно d' эллипс описывается так же, как и относительно d. Обе прямые d и d' называют директрисами эллипса. Директрисы эллипса перпендикулярны той оси симметрии эллипса, на которой расположены его фокусы, и отстоят от центра эллипса на расстояние а/ε = а²/с (см. рис. 7.5).

Расстояние p от директрисы до ближайшего к ней фокуса называют фокальным параметром эллипса. Этот параметр равен

p = a/ε - c = (a² - c²)/c = b²/c

Эллипс обладает еще одним важным геометрическим свойством: фокальные радиусы F₁M и F₂M составляют с касательной к эллипсу в точке M равные углы (рис. 7.6).

Это свойство имеет наглядный физический смысл. Если в фокусе F₁ расположить источник света, то луч, выходящий из этого фокуса, после отражения от эллипса пойдет по второму фокальному радиусу, так как после отражения он будет находиться под тем же углом к кривой, что и до отражения. Таким образом, все лучи, выходящие из фокуса F₁, сконцентрируются во втором фокусе F₂, и наоборот. Исходя из данной интерпретации указанное свойство называют оптическим свойством эллипса.