Расстояние до прямой

Расстояние от точки до прямой. Расстояние от точки M₁(x₁; y₁; z₁) до прямой L, заданной каноническими уравнениями L: (x - x₀)/l = (y - y₀)/m = (z - z₀)/n , может быть вычислено при помощи векторного произведения. Действительно, канонические уравнения прямой дают нам точку M₀(x₀; y₀; z₀) на прямой и направляющий вектор s = {l; m; n} этой прямой. Построим параллелограмм на векторах s и M₀M₁ . Тогда расстояние от точки М₁ до прямой L будет равно высоте h параллелограмма (рис. 6.6). Значит, нужное расстояние может быть вычислено по формуле

где числитель представляет собой площадь этого параллелограмма. Используя формулы вычисления длины вектора и векторного произведения векторов через их координаты, получаем

Расстояние между прямыми. Если прямые пересекаются, то очевидно, что расстояние между ними равно нулю. Случай совпадающих прямых также малосодержателен. Поэтому о расстоянии между прямыми имеет смысл говорить, только если они параллельны или скрещиваются. Два указанных случая с точки зрения вычислений заметно расходятся.

Чтобы найти расстояние между параллельными прямыми, достаточно вычислить расстояние от произвольной точки, например, второй прямой до первой прямой, т. е. можно воспользоваться формулой (6.14). Таким образом, если две параллельные прямые заданы каноническими уравнениями

L₁: (x - x₁)/l₁ = (y - y₁)/m₁ = (z - z₁)/n₁, L₂: (x - x₂)/l₂ = (y - y₂)/m₂ = (z - z₂)/n₂

то расстояние между ними вычисляется по формуле

Расстояние между скрещивающимися прямыми можно находить, используя смешанное произведение. Пусть, как и выше, прямые L₁ и L₂ заданы каноническими уравнениями. Так как они скрещиваются, их направляющие векторы s₁, s₂ и вектор M₁M₂, соединяющий точки на прямых, некомпланарны. Поэтому на них можно построить параллелепипед (рис. 6.7). Тогда расстояние между прямыми равно высоте h этого параллелепипеда. В свою очередь, высоту параллелепипеда можно вычислить как отношение объема параллелепипеда к площади его основания. Объем параллелепипеда равен модулю смешанного произведения трех указанных векторов, а площадь параллелограмма в основании параллелепипеда равна модулю векторного произведения направляющих векторов прямых. В результате получаем формулу для расстояния p(L₁, L₂) между прямыми:

Записывая смешанное и векторное произведения в координатах, окончательно получаем