Расстояние от точки до прямой

Для вычисления расстояния от данной точки M до прямой L можно использовать разные способы. Например, если на прямой L взять произвольную точку M₀, то можно определить ортогональную проекцию вектора M₀M на направление нормального вектора прямой. Эта проекция с точностью до знака и есть нужное расстояние.

Другой способ вычисления расстояния от точки до прямой основан на использовании нормального уравнения прямой. Пусть прямая L задана нормальным уравнением (4.23). Если точка M(x; у) не лежит на прямой L, то ортогональная проекция пр_n OM радиус-вектора точки M на направление единичного нормального вектора n прямой L равна скалярному произведению векторов OM и n, т.е. x cosφ + у sinφ. Эта же проекция равна сумме расстояния p от начала координат до прямой и некоторой величины δ (рис. 4.10). Величина δ по абсолютной величине равна расстоянию от точки М до прямой. При этом δ > 0, если точки М и O находятся по разные стороны от прямой, и δ < 0, если эти точки расположены по одну сторону от прямой. Величину δ называют отклонением точки М от прямой.

Отклонение δ для точки M(x; у) от прямой L вычисляется как разность проекции пр_n OM и расстояния p от начала координат до прямой (см. рис. 4.10), т.е. δ = x cosφ + у sinφ — p.

По этой формуле можно получить и расстояние p(M, L) от точки M(x; у) до прямой L, заданной нормальным уравнением: p(M, L) = |δ | = |x cosφ + у sinφ — p|.

² Два смежныхугла в сумме дают 180°

Учитывая приведенную выше процедуру преобразования общего уравнения прямой в ее нормальное уравнение, получаем формулу для расстояния от точки M(х; у) до прямой L, заданной своим общим уравнением:

Пример 4.8. Найдем общие уравнения высоты AH, медианы AM и биссектрисы AD треугольника ABC, выходящих из вершины A. Известны координаты вершин треугольника А( -1;- 3), B(7; 3), C(1;7).

Прежде всего уточним условие примера: под указанными уравнениями подразумевают уравнения прямых L_AH , L_AM и L_AD , на которых расположены соответственно высота АН, медиана AM и биссектриса AD указанного треугольника (рис. 4.11).

Чтобы найти уравнение прямой L_AM, воспользуемся тем, что медиана делит противоположную сторону треугольника пополам. Найдя координаты (x₁; y₁) середины стороны BC x₁ = (7 + 1)/2 = 4, у₁ = (3 + 7)/2 = 5, записываем уравнение для L_AM в виде уравнения прямой, проходящей через две точки, (x + 1)/(4 + 1) = (y + 3)/(5 + 3). После преобразований получаем общее уравнение медианы 8х — 5у — 7 = 0./p>

Чтобы найти уравнение высоты L_AH, воспользуемся тем, что высота перпендикулярна про-тивоположной стороне треугольника. Следовательно, вектор BC перпендикулярен высоте AH и его можно выбрать в качестве нормального вектора прямой L_AH . Уравнение этой прямой получаем из (4.15), подставляя координаты точки A и нормального вектора прямой L_AH:

(—6)(х + 1) + 4(у + 3) = 0.

После преобразований получаем общее уравнение высоты 3x - 2у - 3 = 0.

Чтобы найти уравнение биссектрисы L_AD , воспользуемся тем, что биссектриса AD принадлежит множеству тех точек N(х; у), которые равноудалены от прямых L_AB и L_AC. Уравнение этого множества имеет вид

P(N, L_AB) = P(N, L_AC), (4.28)

и оно задает две прямые, проходящие через точку A и делящие углы между прямыми L_AB и L_AC пополам. Воспользовавшись уравнением прямой, проходящей через две точки, найдем общие уравнения прямых L_AB и L_AC :

L_AB : (x + 1)/(7 + 1) = (y + 3)/(3 + 3), L_AC : (x + 1)/(1 + 1) = (y + 3)/(7 + 3)

После преобразований получаем L_AB: 3х — 4у — 9 = 0, L_AC: 5х — у + 2 = 0. Уравнение (4.28) с помощью формулы (4.27) для вычисления расстояния от точки до прямой запишем в виде

Преобразуем его, раскрыв модули:

В итоге получим общие уравнения двух прямых

(3 ± 25/√26)x + (—4 ± 5/√26)y + (—9 ± 10/√26) = 0

Чтобы выбрать из них уравнение биссектрисы, учтем, что вершины B и C треугольника расположены по разные стороны от искомой прямой и поэтому подстановки их координат в левую часть общего уравнения прямой L_AD должны давать значения с разными знаками. Выбираем уравнение, соответствующее верхнему знаку, т. е.

(3 - 25/√26)x + (—4 + 5/√26)y + (—9 - 10/√26) = 0

Подстановка координат точки B в левую часть этого уравнения дает отрицательное значение, поскольку

(3 - 25/√26)7 + (—4 + 5/√26)3 + (—9 - 10/√26) = 21 - 12 - 9 + (-175 + 15 - 10 )/√26 = -170/√26

и такой же знак получается для координат точки C, так как

(3 - 25/√26)1 + (—4 + 5/√26)7 + (—9 - 10/√26) = 3 - 28 - 9 + (-25 + 35 - 10 )/√26 = -34 < 0

Следовательно, вершины B и C расположены по одну сторону прямой с выбранным уравнением, а потому уравнением биссектрисы является

(3 + 25/√26)х + (—4 — 5/√26)у + (—9 + 10/√26) = 0.