Взаимное расположение двух прямых

Фиксируем на плоскости прямоугольную систему координат. Две прямые на плоскости могут быть параллельными или пересекаться. Пересекающиеся прямые могут быть перпендикулярными. Какая из этих возможностей реализуется для прямых L₁ и L₂, всегда можно выяснить с помощью их общих уравнений

L₁ : a₁x + b₁y + с₁ = 0, L₂: a₂x + b₂y + c₂ = 0.

Действительно, для параллельности прямых L₁ и L₂ необходимо и достаточно, чтобы были коллинеарными их нормальные векторы n₁ = {a₁; b₁} и n₂ = {a₂; b₂}, а коллинеарность векторов равносильна пропорциональности их координат. Поэтому

L₁||L₂ ⇔ a₁/a₂ = b₁/b₂ (4.24)

Так как последнее равенство преобразуется в соотношение a₁b₂ — a₂b₁ = 0, то полученное условие параллельности двух прямых можно записать при помощи определителя второго порядка:

Прямые L₁ и L₂ перпендикулярны тогда и только тогда, когда ортогональны их нормальные векторы. Условие ортогональности нормальных векторов n₁ = {a₁; b₁} и n₂ = {a₂; b₂} эквивалентно равенству нулю их скалярного произведения n₁n₂ = 0, т.е., согласно (2.17), условию

a₁a₂ + b₁b₂ = 0. (4.26)

И условие параллельности, и условие перпендикулярности можно записать через угловые коэффициенты прямых. Для этого необходимо выразить угловые коэффициенты прямых через коэффициенты их общих уравнений: k₁ = — a₁/b₁, k₂ = — a₂/b₂. Эти выражения позволяют записать условия (4.24) и (4.26) следующим образом:

- условие параллельности: k₁ = k₂;

- условие перпендикулярности: k₁k₂ = — 1.

Две пересекающиеся прямые L₁ и L₂ образуют два смежных² угла. Один из этих углов совпадает с углом между нормальными векторами. А угол между двумя векторами можно вычислить при помощи скалярного произведения. Отметим, что косинусы двух смежных углов различаются знаками, так как cos(π — φ) = — cos φ. При этом положительное значение косинуса соответствует острому углу. Значение φ (меньшего из углов между прямыми L₁ и L₂) вычисляется согласно формуле

Угол между прямыми можно также выразить через угловые коэффициенты прямых. Этот угол представляет собой разность углов наклона прямых. Если k₁ = tgφ₁ и k₂ = tgφ₂ — угловые коэффициенты прямых L₁ и L₂, то

tgφ = tg(φ₁ - φ₂) = (k₁ - k₂)/(1 + k₁k₂)

Приведенная формула учитывает не только значение угла, но и направление поворота вокруг точки пересечения прямых, при котором прямая L₂ совмещается с прямой L₁ . Прямую L₂ можно поворачивать как по ходу часовой стрелки, так и в противоположном направлении. Два возможных угла поворота (без учета знака) в сумме равны 180°. Значение острого угла поворота с учетом его направления определяется по формуле

φ = arctg(k₁ - k₂)/(1 + k₁k₂)