Алгебраические кривые первого порядка

Остановимся на изучении алгебраических кривых первого порядка на плоскости, т.е. кривых, которые в некоторой прямоугольной системе координат описываются алгебраическим уравнением первого порядка ax + by + c = 0, где хотя бы один из коэффициентов a или b отличен от нуля . Это уравнение называют также линейным уравнением.

Теорема 4.1. Любая прямая на плоскости представляет собой алгебраическую кривую первого порядка и любая алгебраическая кривая первого порядка на плоскости есть прямая.

◄ Рассмотрим произвольную прямую L на плоскости. Пусть точка M₀(x0; у0) лежит на L, а ненулевой вектор n = {a; b} перпендикулярен этой прямой. При таких исходных условиях произвольная точка M(x; у) принадлежит прямой L тогда и только тогда, когда вектор M₀M ортогонален вектору n (рис. 4.4).

Зная координаты векторов M₀M= {x — x₀; у — у₀} и n, запишем условие ортогональности этих векторов через их скалярное произведение: a(x — x₀) + b(y — у₀) = 0 или ax + by + c = 0, где c = — ax₀ — by₀. Так как n ≠ 0, то либо a ≠ 0, либо b ≠ 0. Первое утверждение теоремы доказано.

Для доказательства второго рассмотрим произвольное уравнение первого порядка с двумя неизвестными ax + by + c = 0, a² + b² ≠ 0. Это уравнение имеет хотя бы одно решение. Например, если a ≠ 0, то решением уравнения является x = —c/a, у = 0. Это значит, что геометрический образ уравнения является непустым и содержит какие-то точки. Пусть точка M₀(x₀; у₀) принадлежит указанному образу, т.е. выполняется равенство ax₀ + by₀ + c = 0. Вычтем это равенство из рассматриваемого уравнения. В результате получим новое уравнение, эквивалентное исходному. Это новое уравнение после перегруппировки слагаемых примет вид

a(x — x₀) + b(y — y₀) = 0. (4.15)

Нетрудно увидеть, что полученное уравнение представляет собой условие ортогональности векторов n = {a; b} и M₀M, где M — это точка с координатами (x; у). Следовательно, если точка

M(x; y) принадлежит геометрическому образу уравнения аx + by + с = 0, то вектор n ортогонален вектору M₀M т.е. точка M лежит на прямой, проходящей через точку M₀ перпендикулярно вектору n. ►

Определение 4.7. Уравнение вида

аx + by + с = 0, а² + b² ≠ 0, (4.16)

называют общим уравнением прямой.

Из доказательства теоремы 4.1 следует, что коэффициенты а и b в общем уравнении прямой имеют простой геометрический смысл. Это координаты вектора, перпендикулярного прямой. Такой вектор называют нормальным вектором прямой. Он, как и общее уравнение прямой, определяется с точностью до (ненулевого) числового множителя.

Пусть прямая L задана уравнением (4.16). Если точка M₀(x₀; у₀) лежит на прямой L, то ее координаты удовлетворяют уравнению (4.16), т.е. аx₀ + by₀ + с = 0. В любой точке M₁(x₁; y₁), не лежащей на прямой L, значение левой части уравнения (4.16) равно

аx₁ + by₁ + с = аx₁ + by₁ — аx₀ — by₀ = а(x₁ — x₀) + b(y₁ — y₀) = nM₀M₁ ≠ 0.

Знак скалярного произведения nM₀M₁ определяется углом между вектором M₀M₁ и нормальным вектором прямой n. Если точки M₁ и M₂ расположены по одну сторону от прямой L (рис. 4.5, а), то, подставив их координаты в левую часть уравнения (4.16), мы получим значения с одним знаком. Если такая подстановка координат точек M₁ и M₂ приводит к значениям с разными знаками, то эти точки лежат по разные стороны от прямой L (рис. 4.5, б).

Пример 4.6. Выясним, как по отношению к прямой 3x — 4y + 5 = 0 расположены точки A(4; 4) и B(6; 6).

Подставив координаты точки A в левую часть общего уравнения прямой, получим поло-жительное число 1, а подстановка координат точки B приводит к отрицательному числу — 1. Значит, точки A и B расположены по разные стороны от данной прямой. #

Уравнение (4.15) очень полезно при решении задач. Оно позволяет по координатам точки на прямой L и координатам нормального вектора прямой L записать уравнение прямой без промежуточных вычислений.