Кривые и поверхности

Множество точек на плоскости или в пространстве можно описать системой уравнений и (или) неравенств, связывающих координаты точек из этого множества. И одна из важнейших задач аналитической геометрии — построение уравнения или системы уравнений и неравенств, описывающих заданное множество.

Определение 4.1. Если уравнению F(x,y,z) = 0 удовлетворяют те и только те тройки чисел x, y, z, для которых точка M(x; y; z) принадлежит множеству S в пространстве, то уравнение F(x,y,z) = 0 называют уравнением множества S, а само множество S — геометрическим образом этого уравнения.

Вышесказанное также относится и к описанию множеств на плоскости, но с единственным отличием — уравнению соответствует функция F(x,y) двух переменных x и у, а не трех.

Определение 4.2. Если уравнению F(x, y) = 0 удовлетворяют те и только те пары чисел x и у, для которых точка M(x; у) принадлежит множеству Г на плоскости, то уравнение F(x, у) = 0 называют уравнением множества Г, а само множество Г — геометрическим образом этого уравнения.

Рассмотрим простейший вариант, когда множество точек в пространстве описывается одним уравнением вида F(x,y,z) = 0, где F(x,y,z) — функция трех переменных, а переменные x, у, z представляют собой координаты точки в пространстве относительно фиксированной прямоугольной системы координат. Если не налагать на функцию F(x,y,z) никаких ограничений, то от подобного описания мало проку, так как тогда при помощи уравнения можно описать любое множество точек в пространстве. Действительно, вспомним общее толкование функции как закона, который любому набору, в данном случае из трех, аргументов ставит в соответствие единственное число. Такой закон можно задать различными способами. Например, выберем произвольное множество S в пространстве. Положим F(x,y,z) = 0, если точка с координатами (x; у; z) принадлежит множеству S, и F(x,y,z) = 1 в противном случае. Тогда уравнение F(x, y, z) = 0 будет задавать в точности множество S.

В рамках аналитической геометрии рассматривают уравнения F(x,y,z) = 0 (F(x,y) = 0 на плоскости), для которых функция F является многочленом.

Определение 4.3. Многочленом от n переменных x₁ ..., x_n называют функцию вида

где i₁, ... , i_n — целые неотрицательные числа; a_i1,...,_in — действительные числа, причем хотя бы один из коэффициентов a_i1,...,_in, для которых i₁ + ... + i_n = m, не равен нулю. Число m называют степенью многочлена от n переменных.

Определение допускает нулевое значение степени многочлена. Независимо от числа переменных многочлены нулевой степени имеют вид F = a₀,...,₀ и являются постоянными функциями. Вид многочленов первой степени зависит от количества переменных. Например, F = 2x — 4у + 5z — 1 — многочлен первой степени от трех переменных, а F = x — у + 3 — многочлен первой степени от двух переменных. При n < k любой многочлен степени m от n переменных можно рассматривать как многочлен той же степени от k переменных, т.е. от большего числа переменных.

Уравнение F(x₁,...,x_n) = 0, в левой части которого стоит многочлен от n переменных, называют алгебраическим.

Определение 4.4. Алгебраической поверхностью называют геометрический образ в пространстве, соответствующий уравнению F(x, y, z) = 0, где F — многочлен от трех переменных x, y, z.

Степень многочлена F в уравнении F = 0 называют порядком уравнения, или его степенью.

Определение 4.5. Алгебраической кривой (или линией) на плоскости называют геометрический образ на плоскости, соответствующий уравнению F(x,y) = 0, где F — многочлен от двух переменных x, y.

При преобразовании системы координат уравнение поверхности (кривой) изменяется. Пусть x, у, z — старые координаты, x', у', z' — новые координаты, связанные со старыми уравнениями (4.3), а поверхность в старой системе координат описывается уравнением F(x, у, z) = 0. Тогда, чтобы получить уравнение поверхности в новой системе координат, необходимо в исходное уравнение подставить вместо переменных x, у, z их выражения через новые переменные x', у', z'.

В случае алгебраической поверхности (алгебраической кривой) преобразование координат в уравнении приводит к многочлену той же степени, что и степень первоначального уравнения.

Действительно, при преобразовании координат степень многочлена не может возрасти, но тогда она не может и уменьшиться, так как при обратном преобразовании она должна была бы возрасти. Следовательно, степень многочлена в уравнении отражает характер самой поверхности (кривой) и не связана с выбором системы координат.

Степень многочлена в уравнении, описывающем данную алгебраическую поверхность (кривую на плоскости), определяется неоднозначно. Например, поверхность, которая задается уравнением F(x, y, z) = 0, где F — многочлен, может быть также описана и уравнением (F(x, y, z))² = 0, порядок которого вдвое больше. Но среди всех уравнений, описывающих данную алгебраическую поверхность (кривую на плоскости), есть уравнение наименьшего порядка.

Определение 4.6. Минимальный порядок уравнения, описывающего алгебраическую поверхность (алгебраическую кривую на плоскости) в прямоугольной системе координат, называют порядком этой поверхности (кривой).

Отметим, что наиболее распространенные кривые на плоскости (прямые и окружности) и поверхности в пространстве (плоскость, сфера, конус), которые изучаются в курсе школьной геометрии, являются алгебраическими порядка 1 или 2.

Кривая в пространстве может рассматриваться как линия пересечения двух поверхностей. Описывая каждую из поверхностей при помощи уравнения в одной и той же системе координат, например F₁(x,y,z) = 0, F₂(x,y,z) = 0, задают и линию пересечения этих поверхностей системой двух уравнений

Кривые на плоскости или в пространстве можно описывать и другими способами. Так, кривую можно рассматривать как траекторию движущейся точки и описывать, задавая координаты точки как функции времени. Мы приходим к системе трех уравнений

x = φ(t), У = ψ(t), z = χ(t). (4.14)

Кривая на плоскости может быть описана аналогичной системой двух уравнений. Такие системы называют параметрическими уравнениями кривой, а переменное t — параметром. Его содержательный смысл (время) не является существенным, да и происхождение параметра может быть различным — не только исходя из механической интерпретации кривой как траектории движения.

Если удается исключить параметр из системы (4.14), то получается система двух уравнений, которая характеризует кривую в пространстве как пересечение двух поверхностей. Возможен и обратный переход, при котором в систему двух уравнений вводят дополнительный параметр так, чтобы новая система могла быть представлена в виде (4.14).

Пример 4.4. Кривую в пространстве, заданную системой двух уравнений

x² + y² — z² = 0, x — z + 1 = 0,

можно задать параметрически. Для этого исключаем из первого уравнения переменную z и получаем x² + y² — (1 + x)² = 0 или y² = 2x + 1. Решая последнее уравнение относительно x, приходим к системе двух уравнений, эквивалентной исходной:

x =( y² - 1)/2, z = ( y² + 1)/2

Остается ввести параметр, положив t = y, и записать параметрические уравнения рассматриваемой кривой:

x =( t² - 1)/2, y = t, z = ( t² + 1)/2. #

Поверхность в пространстве может быть также задана параметрическими уравнениями, но параметров в этом случае должно быть два.

Пример 4.5. Сфера радиуса R с центром в начале координат описывается параметрическими уравнениями

x = Rcosϑcosφ, у = Rcosϑsinφ, z = R sinϑ,

в которых параметр ϑ соответствует географической широте на поверхности Земли, а φ — географической долготе. Параметры должны изменяться в пределах |ϑ| ≤ π/2, —π < φ ≤ π.