Простейшие задачи аналитической геометрии
ТеорияРассмотрим некоторые задачи аналитической геометрии, связанные со взаимным расположением точек на плоскости или в пространстве.
Векторы и точки. Задача состоит в том, чтобы выразить координаты вектора через координаты его начала и конца.
Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат с началом системы координат в точке O и вектор AB, у которого известны координаты его начала A(xa; ya; za) и конца B(xb; yb; zb). Определим координаты {l; m; n} вектора AB. Координаты точек A и B представляют собой координаты их радиус-векторов OA и OB. Следовательно, OB — OA = {xb — xa; yb — ya; zb — za} и из соотношения AB = OB — OA заключаем, что {l; m; n} = {xb - xa; yb - ya; zb - za}, т.е.
l = xb — xa, m = yb — ya, n =zb — za. (4.10)
В случае прямоугольной системы координат на плоскости координаты вектора AB = {l; m} на этой плоскости и координаты точек его начала A(xa; ya) и конца B(xb; yb) связаны аналогичными соотношениями
l = xb — xa, m = yb — ya. (4.11)
Из (4.10) и (4.11) вытекают правила:
- координаты вектора получают вычитанием из координат его конца координат его начала;
- координаты конца вектора получают сложением координат вектора с координатами его начала;
- координаты начала вектора получают вычитанием из координат его конца координат вектора.
Деление отрезка в заданном отношении. Задача состоит в том, чтобы на данном отрезке M1M2 найти точку М, делящую отрезок в заданном отношении: |M1M| : |MM2| = p : q.
Для точки М из отрезка M1M2 векторы M1M и MM2 коллинеарны и однонаправлены (рис. 4.3). Следовательно, один из них может быть получен из другого умножением на положительное число. Пусть, например, MM2 = λM1M. Число λ равно отношению длин отрезков MM2 и M1M, т.е. λ = q/p. Поэтому M1M2 = M1M. + MM2= M1M + q/pM1M = p+q/qM1M, откуда M1M = p/p+qM1M2
Пусть концы M1 и М2 отрезка M1M2 заданы своими координатами в произвольной прямоугольной системе координат Oijk в пространстве: M1(x1; y1; z1), M2(x2; y2; z2). Найдем координаты точки M в этой же системе координат.
Итак, если обозначить координаты точки M через (x; y; z), то
Если точка M — середина отрезка M1M2, то p = q =1, и поэтому из (4.12) следует, что координаты M равны полусумме соответствующих координат начала и конца отрезка, т.е.
x = (x1 + x2)/2, y = (y1 + y2)/2, z = (z1 + z2)/2.
В случае плоскости нет аппликат и координаты точки M(x; y), делящей отрезок M1M2 в отношении |M1M| : |MM2| = p : q, определяются через координаты точек M1(x1; y1) и M2(x2; y2) концов этого отрезка с помощью равенств x = (px2 + qx1)/(p + q), y = (py2 + qy1)/(p + q) , которые для середины отрезка переходят в соотношения x = (x1 + x2)/2, y = (y1 + y2)/2.
Пример 4.1. В вершинах A(4; 4; 4), B(—2; 6; 4), C(—4; 4; 2) треугольника ABC расположены материальные точки равной массы. Найдем координаты центра масс этой системы точек.
Длина отрезка. Задача вычисления длины отрезка (или расстояния между двумя точками) по координатам его концов в прямоугольной системе координат известна из школьного курса геометрии. Мы выведем эту формулу при помощи векторной алгебры.
Длина отрезка — это длина вектора, соединяющего его концы, а длину вектора можно определить, вычислив его скалярный квадрат. Пусть концы отрезка M1 и М2 заданы своими координатами в прямоугольной системе координат Oijk: M1(x1; y1; z1), M2(x2; y2; z2). Тогда M1M2 = {x2 — x1; y2 — y1; z2 — z1}. Скалярный квадрат вектора M1M2, заданного своими координатами в ортонормированном базисе i, j, k, находится с помощью формулы (2.14) для вычисления скалярного произведения: M1M22 = (x2 — x1)2 + (y2 — y1)2 + (z2 — z1)2. Итак, длина отрезка M1M2 вычисляется по формуле |M1M2| = √((x2 — x1)2 + (y2 — y1)2 + (z2 — z1)2).