Преобразование прямоугольных координат

Все прямоугольные системы координат в изучаемом пространстве, вообще говоря, равноправны, т.е. выбор одной из них ничуть не хуже (и не лучше) выбора другой. Те или иные предпочтения отдают исходя из особенностей конкретной задачи. Использование различных систем координат ставит задачу преобразования координат точки, т.е. задачу вычисления ее координат в одной системе координат по ее координатам в другой системе.

Пусть Oijk — некоторая прямоугольная система координат в пространстве, которую мы условно назовем старой, а О'i'j'k' — вторая прямоугольная система координат, которую будем называть новой (рис. 4.1). Считаем, что известны координаты точки О'(b₁; b₂; b₃) и векторов i' = {α₁₁; α₂₁; α₃₁}, j' = {α₁₂; α₂₂; α₃₂}, k' = {α₁₃; α₂₃; α₃₃} в старой системе координат. Пусть для точки М известны ее координаты (x; y; z) в старой и координаты (x'; y'; z') в новой системах координат. Это значит, что выполняются два равенства О'М = x'i' + y'j' + z'k' и

ОМ = xi + yj + zk. (4.1)

Векторы ОМ и О'М связаны соотношением ОМ = ОO' + О'М, причем координаты вектора ОO' являются также координатами начала координат O' новой системы координат относительно старой, т.е. ОO' = b₁i + b₂j + b₃k. Поэтому

ОМ = ОO' + О'М = b₁i + b₂j + b₃k + x'i' + y'j' + z'k' = b₁i + b₂j + b₃k + x'(α₁₁i + α₂₁j + α₃₁k) + y'(α₁₂i + α₂₂j + α₃₂k) + z'(α₁₃i + α₂₃j + α₃₃k) = (α₁₁x' + α₁₂y' + α₂₃z' + b₂)i + (α₂₁x' + α₂₂y' + α₂₃z' + b₂)j + (α₃₁x' + α₃₂y' + α₃₃z' + b₃)k, (4.2)

т.е. получено разложение вектора ОМ в репере старой системы координат. Оно должно совпадать с (4.1) в силу единственности координат вектора в одном и том же базисе. Приравнивая соответствующие коэффициенты разложений в (4.1) и (4.2), получаем

x = α₁₁x' + α₁₂y' + α₁₃z' + b₁.

y = α₂₁x' + α₂₂y' + α₂₃z' + b₂, (4.3)

z = α₃₁x' + α₃₂y' + α₃₃z' + b₃.

Соотношения (4.3), выражающие старые координаты через новые, представляют собой систему трех линейных уравнений относительно неизвестных x', y', z'. Чтобы найти новые координаты x', y', z' по известным старым, необходимо решить эту систему относительно новых координат. Система (4.3) при любых x, y, z имеет единственное решение, поскольку ее определитель отличен от нуля. Это следует из того, что выполнены равенства

так как векторы i', j', k' образуют правый ортонормированный базис и объем построенного на них параллелепипеда равен 1.

Набор коэффициентов a_ij в системе (4.3) отражает положение репера новой системы координат, а свободные члены b₁, b₂, b₃ характеризуют изменение начала координат. Если репер системы координат не изменился, а поменялось лишь начало координат, то формулы преобразования выглядят более просто:

x = x' + b₁,

y = y' + b₂, (4.4)

z = z' + b₃.

Преобразование (4.4) называют параллельным переносом системы координат в пространстве на вектор ОO'.

Все вышеизложенное относится к прямоугольной системе координат в пространстве. Прямоугольная система координат на плоскости отличается от пространственной лишь тем, что репер состоит из двух векторов, а точки имеют всего две координаты. Преобразование системы координат на плоскости описывается уравнениями

x = α₁₁x' + α₁₂y' + b₁

y = α₂₁x' + α₂₂y' + b₂ (4.5)

где {α_1i; α_2i}, i =1, 2, — координаты векторов i', j' нового репера относительно старого (i, j), а(b₁; b₂) — координаты точки O' начала новой системы координат в старой системе координат.

Преобразование параллельного переноса системы координат на плоскости выглядит так:

x = x' + b₁,

y = y' + b₂.

Если начала новой и старой систем координат на плоскости совпадают, а изменяется лишь репер системы координат, то формулы преобразования координат имеют вид:

x = alpha;₁₁x'+ α₁₂y'

y = alpha;₂₁x'+ α₂₂y'

Здесь возможны два случая. В первом из них новый репер может быть получен из старого поворотом последнего на некоторый угол φ вокруг общего начала систем координат, причем полагают, что φ > 0 (φ < 0) при повороте против хода (по ходу) часовой стрелки. В этом случае преобразование (4.6) называют поворотом системы координат на плоскости на угол φ. Нетрудно убедиться, что координаты векторов i' и j' нового репера относительно старого выражаются через угол поворота φ: i' = {cosφ; sinφ}, j' = {— sinφ; cosφ} (рис. 4.2).

Зная координаты векторов нового репера относительно старого, мы можем записать уравнения для поворота системы координат на плоскости:

x = x'cosφ — y'sinφ,

y = x'sinφ + y'cosφ. (4.7)

Если преобразование состоит в последовательном выполнении поворота и параллельного переноса, то оно имеет вид:

x = x'cosφ — y'sinφ + b₁,

y = x'sinφ — y'cosφ + b₂. (4.8)

Система (4.8) легко решается относительно x', y', и обратное преобразование координат, отражающее переход от новой системы координат к старой, будет иметь вид:

x' = xcosφ +ysinφ + b'₁,

y' = - xsinφ + ycosφ + b'₂,

где b'₁ = b₁cosφ + b₂sinφ, b'₂ = —b₁sinφ + b₂cosφ. Как видим, старая система координат получается из новой с помощью поворота на тот же угол φ, но в противоположную сторону (на угол φ в положительном направлении), и параллельного переноса (на вектор O'O).

Во втором случае с помощью поворота старого репера вокруг начала координат на некоторый угол φможно совместить лишь векторы i и i', но при этом векторы j и j' окажутся противоположными и для их совмещения потребуется выполнение преобразования зеркального отражения плоскости относительно первой оси координат.

В первом случае два репера имеют одинаковую ориентацию, а во втором — противоположную.

Аналогичную терминологию используют и для пространства. Если начало новой и старой прямоугольных систем координат в пространстве совпадают и изменяется лишь репер системы координат, то формулы преобразования координат имеют вид:

Преобразование (4.9) называют поворотом системы координат в пространстве, если реперы новой и старой систем координат имеют одинаковую ориентацию, т.е. являются оба правыми или левыми. Как и в случае плоскости, это связано с тем, что реперы с одинаковой ориентацией можно совмещать с помощью поворотов. Например, можно сначала совместить векторы i и i' с помощью поворота старого репера вокруг вектора i×i', а затем выполнить второй поворот вокруг вектора i' для совмещения повернутого вектора j с вектором j'. При этом векторы k и k' автоматически совпадут для реперов одной ориентации и будут противоположными для реперов противоположной ориентации. В последнем варианте требуется, как и в случае плоскости, выполнение дополнительного преобразования зеркального отражения (относительно координатной плоскости, определяемой векторами i' и j').