Декартова система координат

Существуют различные способы задания точек набором координат. Аналитическая геометрия опирается на простейшую систему координат — прямоугольную, которая известна из школьного курса математики. Мы дадим определение прямоугольной системы координат, используя векторную алгебру. Фактически мы построим систему координат более общего вида, в которой оси координат могут находиться по отношению друг к другу под произвольным углом. Прямоугольная система координат будет частным случаем, когда углы между осями координат будут прямыми.

Назовем декартовой (аффинной) системой координат пару, состоящую из фиксированной точки O и некоторого базиса. Соответственно трем пространствам V₁, V₂, V₃ получаем три варианта декартовой системы координат: на прямой, на плоскости и в пространстве. Декартовыми (аффинными) координатами произвольной точки M являются координаты вектора OM в заданном базисе.

С декартовой системой координат связаны следующие понятия:

- начало (системы) координат — точка O в составе декартовой системы координат;

- репер — базис в составе декартовой системы координат, для векторов которого выбирается общая точка приложения в начале координат;

- оси координат (координатные оси) — прямые, на которых лежат векторы репера, задающие направление на этих прямых. Оси имеют специальные названия (в порядке нумерации): ось абсцисс, ось ординат и ось аппликат. Координаты точки именуются по осям: абсцисса, ордината и аппликата. На плоскости отсутствует ось аппликат, на прямой также нет оси ординат.

- координатные плоскости — плоскости, определяемые парами векторов репера. Понятие используется для декартовой системы координат в пространстве;

- радиус-вектор точки M — вектор OM, соединяющий начало координат O с этой точкой.

Декартову систему координат общего вида часто называют косоугольной системой координат.

Если репер декартовой системы координат является ортонормированным базисом, то такую систему координат называют декартовой прямоугольной системой координат, или просто прямоугольной системой координат, а декартовы координаты точки — ее прямоугольными координатами.

Далее будем использовать в основном прямоугольные системы координат, т. е. будем предполагать, что репер представляет собой ортонормированный базис, причем обязательно правый. Отметим, что базис в V₂ (т.е. на плоскости) называют правым (левым), если первый его вектор совмещается со вторым с помощью кратчайшего поворота против хода (по ходу) часовой стрелки.

Итак, под системой координат подразумевается прямоугольная система координат с правым базисом, а под координатами точки — ее прямоугольные координаты. Для обозначения декартовых систем координат, например в пространстве, будем использовать обозначения типа Oijk, где O — начало системы координат, а i, j, k — ортонормированный репер (базис), или Oxyz, где указаны обозначения для координатных осей.