Классификация поверхностей второго порядка в пространстве

Классификация поверхностей второго порядка в пространстве аналогична классификации кривых второго порядка на плоскости. Но количество уравнений канонического вида при этом возрастает.

Если ранг квадратичной формы поверхности второго порядка равен трем (r = 3), то возможны два варианта (см. (9.13)):

αX² + βY² + γZ² = 1, αX² + βY² + γZ² = 0,

где коэффициенты α, β, γ ненулевые. С учетом возможных комбинаций знаков коэффициентов и перестановки переменных получаем следующую таблицу канонических видов:

Если ранг квадратичной формы поверхности равен двум (r = 2), то из уравнений канонического вида (9.13) получаем два варианта:

αX² + βY² = γ, αX² + βY² = Z,

где α,β ≠ 0. В первом варианте одно из переменных, Z, не входит в уравнение, и мы получаем цилиндрическую поверхность с образующей, параллельной оси OZ, и направляющей в плоскости XOY, которая является кривой второго порядка с квадратичной формой ранга 2. Направляющая определяет тип поверхности согласно классификации кривых второго порядка:

Во втором варианте мы получаем параболоиды. С учетом возможного изменения знаков приходим к двум каноническим уравнениям, различающимся знаками в квадратичной форме поверхности:

Если ранг квадратичной формы поверхности равен единице (r = 1), то уравнения канонического вида (9.13) приводят к двум случаям:

αX² = γ, αX² = Y,

в которых α ≠ 0. В этих двух случаях в уравнении также отсутствует переменное Z. Значит, это цилиндрические поверхности с образующей, параллельной оси OZ, и направляющей, которая расположена в плоскости XOY и представляет собой кривую второго порядка с квадратичной формой ранга 1. Всего получается четыре варианта канонических уравнений:

1. Линейные операции над векторами

2. Базис. Cкалярное произведение

3. Векторное и смешанное произведения векторов

4. Декартова система координат. прямая на плоскости

5. Плоскость в пространстве

6. Прямая в пространстве

7. Кривые второго порядка — I

8. Кривые второго порядка — II

9. Поверхности второго порядка

10. Матрицы и операции с ними

11. Обратная матрица

12. Ранг матрицы

13. Системы линейных алгебраических уравнений

14. Свойства решений однородных и неоднородных СЛАУ