Классификация кривых второго порядка

Кривая второго порядка на плоскости в системе координат Оху описывается уравнением

а₁₁х² + 2а₁₂ху + а₂₂y² + 2b₁x + 2 b₂у + с = 0,

в котором хотя бы один из коэффициентов при слагаемых второй степени отличен от нуля. Это уравнение может быть преобразовано к одному из канонических видов (9.13).

В нашем случае n = 2, так что при r = 2 возможны лишь два варианта: 

αX² + βY² = 1, αX² + βY² = 0(9.18)

где через X, У обозначены канонические переменные, а параметры α, β одновременно не равны нулю. В зависимости от знаков коэффициентов α и β в уравнениях (9.18) с учетом возможного переименования канонических переменных приходим к следующим вариантам:

Если r = 1, то квадратичная форма кривой второго порядка вырождена и имеет одно слагаемое. В этом случае возможны три варианта:

αX² = 0, αX² = 1, αX² = Y,

где α ≠ 0. В последнем варианте можно считать, что α > 0, так как иначе достаточно поменять направления векторов базиса и тем самым изменить знак переменной У в правой части. Кривые с рангом квадратичной формы r = 1 дают еще четыре канонических уравнения:

1. Линейные операции над векторами

2. Базис. Cкалярное произведение

3. Векторное и смешанное произведения векторов

4. Декартова система координат. прямая на плоскости

5. Плоскость в пространстве

6. Прямая в пространстве

7. Кривые второго порядка — I

8. Кривые второго порядка — II

9. Поверхности второго порядка

10. Матрицы и операции с ними

11. Обратная матрица

12. Ранг матрицы

13. Системы линейных алгебраических уравнений

14. Свойства решений однородных и неоднородных СЛАУ