Приложения произведений векторов

Рассмотрим различные приложения произведений векторов на следующих примерах.

Пример 3.4. Работа A постоянной силы F при прямолинейном перемещении материальной точки из положения М₁ в положение М₂ равна A = |F||M₁M₂|cosφ (рис. 3.7, а). Поэтому с помощью скалярного произведения эта работа вычисляется по формуле

A = Fs, s = M₁M₂.

Если к материальной точке приложено n постоянных сил f_i, i = 1, n, то при том же ее перемещении сумма A их работ Ai равна работе равнодействующей силы

Из этого равенства следует, что система сил не совершает работу, если их равнодействующая ортогональна вектору перемещения s. Ясно, что равенство A = Fs = 0 справедливо и в случае, когда равнодействующая равна нулю или отсутствует перемещение, или верно и то и другое.

Пример 3.5. Круговой диск вращается с постоянной угловой скоростью ω вокруг перпендикулярной ему оси вращения L, проходящей через его центр O (рис. 3.7, б). Пусть v — скорость точки P. Тогда v = ω × OP, где ω — вектор угловой скорости.

Пример 3.6. На движущуюся со скоростью v частицу с электрическим зарядом q магнитное поле с магнитной индукцией B действует с силой Лоренца f = q v ×B. Если векторы v и B коллинеарны, то v×B = 0 и при постоянном магнитном поле частица будет совершать прямолинейное равномерное движение. Если же векторы v и B неколлинеарны, то f ≠ 0, но мощность, развиваемая этой силой, равна нулю: W = fv = q(v×B)v = qvBv = 0, поскольку смешанное произведение компланарных векторов равно нулю. Следовательно, заряженная частица массой m в постоянном магнитном поле сохраняет свою кинетическую энергию m v²/2.

Рассмотрим случай, когда векторы v и B ортогональны, т.е. vB = 0. Поскольку и сила Лоренца f ортогональна B, то частица остается в плоскости, перпендикулярной вектору B, и двигается по окружности радиуса R, который определяется из условия равновесия возникающей при этом центробежной силы и действующей силы Лоренца,

mv²/R = q|v×B| = q|v||B|sin90°.

Отсюда

R = m|v|/q|B|