Закон инерции

Квадратичная форма может быть приведена к различным каноническим видам. Например, для квадратичной формы х²₁ - 4х₁x₂ найдены уже три канонических вида. Но, несмотря на многообразие канонических видов для данной квадратичной формы, имеются такие характеристики их коэффициентов, которые во всех этих канонических видах остаются неизменными. Например, если квадратичная форма преобразовалась к виду

λ₁y²₁ + ... + λ_my²_m

в котором все коэффициенты λ_i положительны, то соответствующая этой квадратичной форме функция в линейном пространстве принимает только неотрицательные значения. Значит никакой другой канонический вид не может иметь отрицательных коэффициентов, так как наличие отрицательных коэффициентов означает, что функция имеет и отрицательные значения. Другой важной характеристикой является ранг матрицы квадратичной формы.

Теорема 8.4. Ранг квадратичной формы не меняется при невырожденных линейных заменах переменных и равен:

а) числу отличных от нуля коэффициентов в любом ее каноническом виде;

б) количеству ненулевых собственных значений матрицы квадратичной формы (с учетом их кратности).

◄ При изменении базиса линейного пространства матрица А квадратичной формы преобразуется по формуле А' = U^TAU, в которой U - матрица перехода (см. 8.2). Матрица U, как матрица перехода, является невырожденной, поэтому ранг А' совпадает с рангом А, так как при умножении на невырожденную матрицу ранг не меняется (см. замечание 4.3).

Пусть квадратичная форма имеет два канонических вида

f₁(y₁, ... ,y_m) = λ₁y²₁ +... + λ_my²_m,

f₂(z₁, ... ,z_k) = μ₁z²₁ + ... + μ_kz²_k,

в которых все коэффициенты λ_i и μ_i ненулевые. Оба канонических вида - это квадратичные формы, представляющие собой одну и ту же функцию на линейном пространстве, но записанную в разных базисах. Значит, одна из этих квадратичных форм получается из другой в результате замены базиса, и ранги их матриц совпадают. Остается заметить, что ранг квадратичной формы канонического вида равен количеству ненулевых коэффициентов этой формы, т.е. в нашем случае m = k. Это доказывает утверждение а).

Квадратичную форму можно привести к каноническому виду ортогональным преобразованием (см. теорему 8.2). При этом коэффициенты квадратичной формы канонического вида (они же диагональные элементы ее матрицы) будут собственными значениями матрицы исходной квадратичной формы. Это доказывает утверждение б). ►

В различных канонических видах данной квадратичной формы остается неизменным не только количество ненулевых коэффициентов, но и количество положительных и соответственно отрицательных коэффициентов. Объединяя это с доказанной теоремой, получаем следующее утверждение, называемое законом инерции.

Теорема 8.5. Для любых двух канонических видов

f₁(y₁, ... ,y_m) = λ₁y²₁ + ... + λ_my²_m, λ_i ≠ 0, i = 1,m, (8.6)

f₂(z₁, ... ,z_k) = μ₁z²₁ + ... + μ_kz²_k, μ_j ≠ 0, ji = 1,k, (8.7)

одной и той же квадратичной формы:

- m = k и их общее значение равно рангу квадратичной формы;

- количество положительных коэффициентов λ_i совпадает с количеством положительных коэффициентов μ_j;

- количество отрицательных коэффициентов λ_i совпадает с количеством отрицательных коэффициентов μ_j.

◄ Согласно теореме 8.4, количество ненулевых коэффициентов в квадратичных формах (8.6) и (8.7) одинаково, т.е. m = k. Пусть в этих канонических видах положительные коэффициенты предшествуют отрицательным, так что мы можем переписать их следующим образом:

f₁(у) = α₁y²₁ + ... + α_py²_p - α_p+1y²_p+1 - ... -α_ky²_k,

(8.8)

f₂(z) = β₁z²₁ + ... + β_pz²_q - β_q+1z²_q+1 - ... - β_kz²_k,

где α_i > 0, i = 1,k, и β_j > 0, j = 1,k. Этого всегда можно до-биться изменением порядка переменных. Нам нужно доказать, что р = q. Пусть это не так, и мы для определенности положим, что р > q.

Обозначим через е = (e₁ ... е_n) и f = (f₁ ... f_n) базисы, в которых записаны канонические виды f₁ и f₂ (8.8) квадратичной формы. Покажем, что существует ненулевой вектор x с координатами у₁ ..., у_n в базисе е и z₁, ..., z_n в базисе f, для которого одновременно выполняются условия у_i = 0, i = p+1,n, и z_j = 0, j = 1,q. Действительно, координаты z_j линейным образом выражаются через координаты у_i:

z_j = u_j1y₁ + ... + u_jny_n, j = 1,n,

причем матрица U = (u_ji) - это матрица перехода из базиса f в базис е. Поэтому условия, поставленные для вектора x, составляют однородную систему линейных алгебраических - уравнений

относительно координат у_i вектора x. Так как уравнений меньше числа неизвестных (n - p + q < n), эта система имеет ненулевое решение. Следовательно, существует вектор х ≠ 0, удовлетворяющий поставленным условиям. Но для этого вектора, согласно представлениям (8.8), имеем:

f(x) = f₁(y₁,...,y_n) = α₁y²₁ + ... + α_py²_xp > 0,

f(x) = f₂(z₁,... ,z_n) = -β_q+1z²_q+1 - ... - β_rz²_r ≤ 0.

Первое неравенство является строгим, тан как все координаты y_i вектора х, начиная с номера р + 1, являются нулевыми, а ненулевой вектор должен иметь хотя бы одну ненулевую координату. Два взаимоисключающих равенства показывают, что предположение p ≠ q не верно. Значит, p = q, т.е. количество положительных коэффициентов в двух канонических видах одинаково. Тогда и количество отрицательных коэффициентов у них совпадает, так как совпадает количество ненулевых коэффициентов. ►

1. Линейные операции над векторами

2. Базис. Cкалярное произведение

3. Векторное и смешанное произведения векторов

4. Декартова система координат. прямая на плоскости

5. Плоскость в пространстве

6. Прямая в пространстве

7. Кривые второго порядка — I

8. Кривые второго порядка — II

9. Поверхности второго порядка

10. Матрицы и операции с ними

11. Обратная матрица

12. Ранг матрицы

13. Системы линейных алгебраических уравнений

14. Свойства решений однородных и неоднородных СЛАУ