Квадратичные формы канонического вида

Теория
Автор
Издательство
⇓ Скачать «Квадратичные формы канонического вида »

Определение 8.2. Квадратичную форму

α1x21 + ... + αnx2n, αi ∈ R, i = 1,n, (8.5)

не имеющую попарных произведений переменных, называют квадратичной формой канонического вида. Переменные x1,..., хn, в которых квадратичная форма имеет канонический вид, называют каноническими переменными.

Один из методов преобразования (или, как говорят, приве-дения) квадратичной формы к каноническому виду путем замены переменных состоит в последовательном выделении полных квадратов. Такой метод называют методом Лагранжа. Проиллюстрируем этот метод на простом примере.

Пример 8.3. Рассмотрим квадратичную форму x21 - 4x1x2 от двух переменных. Для преобразования ее к каноническому виду выделим полный квадрат по x1. Для этого соберем все слагаемые, содержащие x1, и дополним до полного квадрата:

х21 - 4x1x2 = х21 - 4x1x2 + 4x22 - 422 = (x1 - 2x2)2 - 4x22.

Введя новые переменные z1 = х1 - 2х2, z2 = 2х2, получим квадратичную форму канонического вида: z21 - z22. #

Как применять метод Лагранжа в общем случае? Рассмотрим квадратичную форму от n переменных общего вида (8.1). Если а11 ≠ 0, соберем все слагаемые формы, содержащие переменное x1, и дополним их слагаемыми так, чтобы получился полный квадрат. В результате получим:

Применение метода Лагранжа в общем случае

где a'1 = а11, α1,j = a1,j/а11, j = 1,n, a f1 - квадратичная форма, не содержащая переменного х1.

С квадратичной формой f1 можно поступить аналогичным образом, выделяя полный квадрат по переменной x2 . Продолжая процесс, мы преобразуем квадратичную форму f(x) к виду

Преобразование квадратичной формы

где коэффициенты a'j являются ненулевыми, a αjj = 1, j = 1,r.

Выполним линейную замену переменных

Линейная замена переменных

определяемую верхней треугольной матрицей U. Отметим, что диагональное элементы матрицы U равны единице, поэтому эта матрица невырождена. В результате замены переменных мы придем к; квадратичной форме

f(x') = a'1(x'1)2 + ...+ a'r(x'r)2,

имеющей канонический вид.

Изложенная схема не применима, если на каком-либо ее этапе в квадратичной форме нет соответствующего переменного во второй степени. Например, может случиться, что а11 = 0. Тогда мы вместо переменного х1 можем остановить свой выбор на другом, квадрат которого присутствует в квадратичной форме. Но может быть так, что в квадратичной форме нет ни одного квадрата (например, f(x1,x2) = x1x2). Тогда перед выделением квадрата следует выполнить промежуточную замену переменных. Для этого выбираем любое слагаемое квадратичной формы. Пусть для определенности a12 ≠ 0, так что присутствует слагаемое 2a12x1x2. После замены переменных х1 = х'1 + х'2, x2 = х'1 - х'2, х3 = x'3, ..., хn - х'n получим квадратичную форму, у которой присутствует квадрат переменного х'1, так как х1x2 = (x'1 + x'2)( x'1 - x'2) = (x'1)2 - (x'2)2.

Отметим, что канонический вид, к которому приводится данная квадратичная форма, определяется неоднозначно. Так, в примере 8.3 после дополнительной замены переменных ω1 = z1/2, ω2 = z2/2 получим еще одну квадратичную форму канонического вида 4ω21 - 4ω22.

  1. Линейные операции над векторами

  2. Базис. Cкалярное произведение

  3. Векторное и смешанное произведения векторов

  4. Декартова система координат. прямая на плоскости

  5. Плоскость в пространстве

  6. Прямая в пространстве

  7. Кривые второго порядка — I

  8. Кривые второго порядка — II

  9. Поверхности второго порядка

  10. Матрицы и операции с ними

  11. Обратная матрица

  12. Ранг матрицы

  13. Системы линейных алгебраических уравнений

  14. Свойства решений однородных и неоднородных СЛАУ