Векторное произведение векторов

§ 32. Векторное произведение векторов

Векторным произведением вектора а на вектор b называется вектор, обозначаемый символом [ab] и определяемый следующими тремя условиями:

1) модуль вектора [аb] равен |а| • |b| sinφ, где φ - угол между векторами а и b;

2) вектор [ab] перпендикулярен к каждому из векторов а и b;

3) направление вектора [аb] соответствует «правилу правой руки». Это означает, что если векторы а, b и [ab] приведены к общему началу, то вектор [ab] должен быть направлен так, как направлен средний палец правой руки, большой палец которой направлен по первому сомножителю (т, е. по вектору а), а указательный - по второму (т. е. по вектору b).

Векторное произведение зависит от порядка сомножителей, именно:

[аb] = - [bа].

Модуль векторного произведения [ab] равен площади S параллелограмма, построенного на векторах а и b:

|[ab]| = S.

Само векторное произведение может быть выражено формулой

[ab] = Se,

где е - орт векторного произведения,

Векторное произведение [ab] обращается в нуль тогда и только тогда, когда векторы а и b коллинеарны. В частности [aa] = 0.

Еcли система коордйнатных осей правая и векторы а и b заданы в этой системе своими координатами:

a = {X₁; X₁; X₁} b = {X₂;Y₂; Z₂},

то векторное произведение вектора а на вектор b определяется формулой

или

839. Векторы а и и образуют угол φ = π.6. Зная, что |а| = 6, |b| = 5, вычислить |[аb]|.

840. Даны: |а| = 10, |b| = 2 и ab= 12. Вычислить |[аb]|.

841. Даны: |а| = 3, |b| = 26 и |[аb]| = 72. Вычислить аb.

842. Векторы а и b взаимно перпендикулярны. Зная, что |а| = 3, |b|= 4, вычислить:

1) | [{а + b)(а - b)] |; 2) | [(За - b)(а - 2b)] |.

843. Векторы а и b образуют угол φ = 2/3π, Зная, что |а|=1, |b| = 2, вычислить: 1) [аb]²; 2) [(2а + b) (а + 2b)]²; 3) [(а + 3b) (За - b)]².

844. Какому условию должны удовлетворять векторы а, b, чтобы векторы а + b и а - b были коллинеарны?

845. Доказать тождество [аb]² + (ab)²2 = a²b².

846. Доказать, что [аb]² ≤ a²b²; в каком случае здесь будет знак равенства?

847. Даны произвольные векторы: р, q, r, n. Доказать, что векторы а = [рn], b = [qn], с = [rn] компланарны (т. е., будучи приведены к общему началу, располагаются в одной плоскости).

848. Векторы а, b и с удовлетворяют условию а + b + c = 0. Доказать, что [ab] = [bс] = [са].

849. Векторы а, b, с и d связаны соотношениями [ab] = [cd], [ac] = [bd]. Доказать коллинеарность векторов a - d и b - c.

850. Даны векторы а = {3; -1; -2} и b = {1; 2; - 1}. Найти координаты векторных произведений: 1) [аb]; 2) [(2а + b)b]; 3) [(2а - b) (2а + b)].

851. Даны точки A(2; -1; 2), В(1; 2; -1) и С(3; 2; 1). Найти координаты векторных произведений 1) [ABBC]; 2) [(BC -2CA)CB].

852. Сила P = {3; 2; -4} приложена к точке А (2; - 1; 1). Определить момент этой силы относительно начала координат *).

853. Сила Р = {2; -4; 5} приложена к точке M₀(4; -2; 3). Определить момент этой силы относительно точки A(3; 2; -1).

854. Сила Q = {3; 4; -2} приложена к точке С (2; -1; -2). Определить величину и направляющие косинусы момента этой силы относительно начала координат.

855. Сила Р = (2; 2; 9} приложена к точке A(4; 2; -3). Определить величину и направляющие косинусы момента этой силы относительно точки С (2; 4; 0).

856. Даны три силы М = {2; - 1; -3}, N = {3; 2; - 1} и Р = {- 4; 1; 3}, приложенные к точке С (- 1; 4; -2). Определить величину и направляющие косинусы момента равнодействующей этих сил относительно точки A (2; 3; -1)

857. Даны точки A(1; 2; 0), В(3; 0; -3) и С(5; 2; 6). Вычислить площадь треугольника ABC.

858. Даны вершины треугольника A(1; -1; 2), В(5; -6; 2) и С(1; 3; -1). Вычислить длину его высоты, опущенной из вершины В на сторону АС.

859. Вычислить синус угла, образованного векторами а = {2; -2; 1} и b = {2; 3; 6}.

860. Вектор х, перпендикулярный к векторам а = (4; -2; -3} и b = (0; 1; 3}, образует с осью Оу тупой угол. Зная, что |x| = 26, найти его координаты.

861. Вектор m, перпендикулярный к оси Oz и к век-тору а = {8; -15; 3}, образует острый угол с осью Ох. Зная, что |m| = 51, найти его координаты.

862. Найти вектор х, зная, что он перпендикулярен к векторам а = {2; -3; 1} и b = { 1; -2; 3} и удовлетворяет условию: x{i + 2j - 7k) = 10.

863. Доказать тождество

(l²₁ + m²₁ + n²₁)(l²₂ + m²₂ + n²₂) - (l₁l₂ + m₁m₂ + n₁n₂)² = (m₁n₂ - m₂n₁) + (l₂n₁ + l₁n₂)² + (l₁m₂ + l₂m₁)² ,

Указание. Воспользоваться тождеством задачи 845.

864. Даны векторы а = {2; -3; 1}, b = {-3; 1; 2} и с = {1; 2; 3}. Вычислить [[ab]c] и [а[bс]].