Понятие вектора. Проекции вектора

Направленные отрезки принято называть также геометрическими векторами или просто векторами. Вектор как направленный отрезок мы будем по-прежнему записывать в тексте двумя большими латинскими буквами с общей чертой наверху при условии, что первая из них обозначает начало, вторая - конец вектора. Наряду с этим мы будем также обозначать вектор одной малой латинской буквой полужирного шрифта, которая на чертежах ставится у конца стрелки, изображающей вектор (см. рис. 40, где изображен вектор а с началом А и концом В). Начало вектора часто будет называться также его точкой приложения.

Векторы называются равными, если они имеют одинаковые длины, лежат на параллельных прямых или на одной прямой и направлены в одну сторону.

Число, равное длине вектора (при заданном масштабе), называется его модулем. Модуль вектора а обозначается символом |а| или ф. Если |а| = 1, то вектор а называется единичным.

Единичный вектор, имеющий одинаковое направление с данным вектором а, называется ортом вектора а и обозначается обычно символом а⁰.

Проекцией вектора АB на ось u называется число, равное величине отрезка А₁B₁ оси u, где точка А₁ является проекцией на ось и точки А, а В₁ - проекцией на эту ось точки В.

Проекция вектора АB на ось и обозначается символом: пр_u АB. Если вектор обозначен символом а, то его проекцию на ось и принято обозначать: пр_uа.

Проекция вектора а на ось u выражается через его модуль и угол φ наклона к оси и формулой

пр_u a = |а| cosφ (1)

Проекции произвольного вектора а на оси некоторой заданной системы координат в дальнейшем обозначаются буквами X, Y, Z. Равенство

a = {X; Y; Z)

означает, что числа X, У, Z являются проекциями вектора на координатные оси.

Проекции вектора на координатные оси называют также его (декартовыми) координатами. Если даны две точки M₁(x₁, у₁, z₁) и М₂(х₂; у₂; z₂), являющиеся соответственно началом и концом вектора а, то его координаты X, У, Z определяются по формулам

Х = х₂ - x₁, Y = у₂ - y₁, Z = z₂ - z₁

Формула

|а| = √(X² + У² + Z²) (2)

позволяет по координатам вектора определить его модуль.

Если α, β, γ - углы, которые составляет вектор а с координатными осями (рис. 41), то cosα, cosβ, cosγ называются направляющими косинусами вектора а.

Вследствие формулы (1)

X = |a|cosα, У = |a|cosβ, Z == |a| cosγ.

Отсюда и из формулы (2) следует, что

cos²α + cos²β + cos²γ = 1.

Последнее равенство позволяет определить один из углов α, β, γ. если известны два Других.

748. Вычислить модуль вектора а = {6; 3; -2}.

749. Даны две координаты вектора X = 4, У =-12. Определить его третью координату Z при условии, что |а| = 13.

750. Даны точки А (3; -1; 2) и 5(-1; 2; 1). Найти координаты векторов АВ и ВА.

751. Определить точку N, с которой совпадает конец вектора а = {3; - 1; 4}, если его начало совпадает с точкой М(1; 2; -3).

752. Определить начало вектора а = {2; -3; -1}, если его конец совпадает, с точкой (1; -1; 2).

753. Дан модуль вектора |а| = 2 и углы α = 45°, β = 60°, γ = 120°. Вычислить проекции вектора а на координатные оси.

754. Вычислить направляющие косинусы вектора а = {12; -15; -16}.

755. Вычислить направляющие косинусы вектора а = {3/13; 4/13; 12/13} .

756. Может ли вектор составлять с координатными осями следующие углы: 1) α = 45°, β = 60°, γ = 120°; 2) α = 45°, β = 135°, γ = 60°; 3) α = 90°, β = 150°; γ == 60°?

757. Может ли вектор составлять с двумя координат-ными осями следующие углы: 1) α = 30°, β = 45°; 2) β = 60°, γ = 60°; 3) α = 150°, γ = 30°?

758. Вектор составляет с осями Ох и Оz углы α = 120° и γ = 45°. Какой угол он составляет с осью Оу?

759. Вектор а составляет с координатными‘осями Ох и Оу углы α = 60°, β = 120°. Вычислить его координаты при условии, что |а| = 2.

760. Определить координаты точки М, если ее радиус - вектор составляет с координатными осями одинаковые углы и его модуль равен 3.