Взаимное расположение плоскостей

Пусть даны две плоскости, заданные в прямоугольной системе координат своими общими уравнениями, π₁: A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0, π₂: A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0. Один из двух углов между этими плоскостями (обозначим его через φ) равен углу между их нормальными векторами n₁ = {A₁; B₁; C₁} и n₂ = {A₂; B₂; C₂} (рис. 5.6), а другой угол равен π — φ

Поэтому, согласно определению 2.3 скалярного произведения,

Если две данные плоскости перпендикулярны, то это эквивалентно тому, что их нормальные векторы ортогональны. Критерием ортогональности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения (см. теорему 2.7). Поскольку скалярное произведение двух векторов, заданных в координатах, вычисляется как сумма произведений их одноименных координат, критерием перпендикулярности плоскостей π₁ и π₂ является выполнение равенства

A₁A₂ + B₁B₂ + C₁C₂ = 0.

Аналогично две плоскости параллельны, если их нормальные векторы коллинеарны. Критерием же коллинеарности двух векторов является равенство отношений их координат (см. следствие 2.1). Поэтому условие параллельности двух плоскостей записывается в виде двойного равенства

A₁/A₂ = B₁/B₂ = C₁/C₂.

Замечание 5.1. Это двойное равенство имеет смысл и в том случае, когда в знаменателе одной из дробей стоит нуль. Это значит, что и в числителе той же дроби стоит нуль. #

Параллельные плоскости могут совпадать или быть различными. Левые части общих уравнений совпадающих плоскостей отличаются на ненулевой числовой множитель, и это можно записать как равенство отношений соответствующих коэффициентов их уравнений:

A₁/A₂ = B₁/B₂ = C₁/C₂ = D₁/D₂.

Случай же

A₁/A₂ = B₁/B₂ = C₁/C₂ ≠ D₁/D₂.

соответствует тому, что плоскости параллельны, но не совпадают.