Расстояние от точки до плоскости

Рассмотрим в пространстве некоторую плоскость π и произвольную точку M₀. Выберем для плоскости единичный нормальный вектор n с началом в некоторой точке М₁ ∈ π, и пусть р(М₀,π) — расстояние от точки М₀ до плоскости π. Тогда (рис. 5.5)

р(М₀,π) = | пр_nM₁M₀| = |nM₁M₀|, (5.8)

так как |n| = 1.

Если плоскость π задана в прямоугольной системе координат своим общим уравнением Ax + By + Cz + D = 0, то ее нормальным вектором является вектор с координатами {A; B; C} и в качестве единичного нормального вектора можно выбрать

Пусть (x₀; y₀; z₀) и (x₁; y₁; z₁) координаты точек M₀ и M₁. Тогда выполнено равенство Ax₁ + By₁ + Cz₁ + D = 0, так как точка M₁ принадлежит плоскости, и можно найти координаты вектора M₁M₀: M₁M₀ = {x₀—x₁; y₀—y₁; z₀—z₁}. Записывая скалярное произведение nM₁M₀ в координатной форме и преобразуя (5.8), получаем

поскольку Ax₁ + By₁ + Cz₁ = — D. Итак, чтобы вычислить расстояние от точки до плоскости нужно подставить координаты точки в общее уравнение плоскости, а затем абсолютную величину результата разделить на нормирующий множитель, равный длине соответствующего нормального вектора.