Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости

Решение задач

Нормальным уравнением плоскости называется ее уравнение, написанное в виде

x cosα + у cosβ + z cosγ - р = 0, (1)

где cosα, cosβ, cosγ суть направляющие косинусы нормали плоскости, р - расстояние до плоскости от начала координат. При вычислении направляющих косинусов нормали следует считать, что она направлена от начала координат к плоскости (если же плоскость проходит через начало координат, то выбор положительного направления нормали безразличен).

Пусть М* - какая угодно точка пространства, d - расстояние от нее до данной плоскости. Отклонением δ точки М* от данной плоскости называется число + d, если точка М* и начало координат лежат по разные стороны от данной плоскости, и число - d, если они лежат по одну сторону от данной плоскости (если М* лежит на самой плоскости, то отклонение равно нулю).

Если точка М* имеет координаты х*, у*, z*, а плоскость задана нормальным уравнением

x cosα + у cosβ + z cosγ - р = 0

то отклонение точки М* от этой плоскости дается формулой

δ = x* cosα + у* cosβ + z* cosγ - р = 0

Очевидно, d = |δ|.

Общее уравнение плоскости

Ах + By + Cz + D = 0

приводится к нормальному виду (1) умножением на нормирующий множитель, определяемый формулой

μ = ± 1/(√(A2 + B2 + C2));

знак нормирующего множителя берется противоположным знаку свободного члена нормируемого уравнения.

956. Определить, какие из следующих уравнений плоскостей являются нормальными:

l)1/3x - 2/3y - 2/3z - 5 = 0; 2)2/3x + 1/3y + 1/3z - 3 = 0;

3) 6/7x - 3/7у + 2/7z + 5=0; 4)- 6/7x + 3/7y + 2/7z - 5 = 0;

5) 3/5x - 4/5z - 3 = 0; 6) -5/13y + 12/13z + 1 = 0

7) 5/13y - 12/13z - 1 = 0; 8) 4/5x - 3/5y + 3 = 0;

9) x -1 = 0; 10) y + 2 = 0;

11) - y - 2 = 0; 12) z - 5 = 0.

957. Привести каждое из следующих уравнений пло-скостей к нормальному виду:

1) 2х - 2у + z - 18 = 0; 2) 3/7x - 6/7y + 2/7z + 3 = 0;

3) 4х - 6y - 12z - 11 = 0; 4) - 4х - 4у + 2z + 1 = 0;

5) 5y - 12z + 26 = 0; 6) 3x - 4y - 1 = 0;

7) y + 2 = 0; 8) -x + 5 = 0;

9) -z + 3 = 0; 10) 2z - 1 = 0.

958. Для каждой из следующих плоскостей вычислить углы α, β и γ, образуемые нормалью с осями координат, и расстояние р от начала координат:

1) х + у√2 + z - 10 = 0; 2) x - у - z√2 + 16 = 0;

3) x + z - 6 = 0; 4) у - z + 2 = 0;

5) x√3 + y + 10 = 0; 6) z - 2 = 0; 7) 2x + 1 = 0;

8) 2y + 1 = 0; 9)x - 2у + 2z - 6 = 0;

10) 2х + 3у - 6z + 4 = 0.

959. Вычислить величину отклонения δ и расстояние d точки от плоскости в каждом из следующих случаев;

1) М1(-2; -4; 3), 2x - y + 2z + 3 = 0;

2) М2(2; -1;-1), 16x - 12y + 15z - 4 = 0;

3) М3(1; 2; -3), 5x - 3y +z +4 = 0;

4) М4(1; 2; -3), 4x - 3z - 1 = 0;

4) М5(9; 2; -2), 12y - 5z + 5 = 0.

960. Вычислить расстояние d от точки Р(-1; 1; -2) до плоскости, проходящей через три точки M1(1; -1; 1), М2(-2; 1; 3) и М3(4; -5; -2).

961. Определить, лежат ли точка Q(2; -1; 1) и начало координат по одну или по разные стороны относительно каждой из следующих плоскостей:

1) 5x - Зу + z - 18 = 0; 2x + 7y + 3z + 1 = 0;

3) x + 5y +12z - l = 0 ; 4) 2х - у + z + 11 = 0;

5) 2х + 3y - 6z + 2 = 0; 6) 3x - 2у + 2z - 7 = 0.

962. Доказать, что плоскость Зх - 4у - 2z + 5 = 0 пересекает отрезок, ограниченный точками М1(3; -2; 1) и М2(-2; 5; 2).

963. Доказать, что плоскость 5х - 2у + z - 1 = 0 не пересекает отрезка, ограниченного точками М1 (1; 4; -3) и М2(2; 5; 0).

964. В каждом из следующих случаев вычислить расстояние между параллельными плоскостями:

1) x - 2y - 2z - 12 = 0, 2) 2х - Зу + 6z - 14 = 0,

х - 2у - 2z - 6 = 0; 4х-6у + 12z + 2l = 0;

З) 2x-y + 2z + 9 = 0, 4) 16x + 12y - 15z + 50 = 0,

4х - 2y + 4z - 21 = 0; 16x + 12у - 15z + 25 = 0;

5) 30x - 32y + 24z - 75 = 0, 6) 6x - 18y - 9z - 28 = 0,

15x - 16y + 12z - 25 = 0; 4х - 12y - 6z - 7 = 0.

965. Две грани куба лежат на плоскостях 2x - 2у + z - 1 = 0,2x - 2у + z + 5 = 0. Вычислить объем этого куба.

966. На оси Оу найти точку, отстоящую от плоскости x + 2y - 2z - 2 = 0 на расстоянии d = 4.

967. На оси Oz найти точку, равноудаленную от точки М (1; -2; 0) и от плоскости 3x - 2у + 6z - 9 = 0.

968. На оси Ох найти точку, равноудаленную от двух плоскостей: 12x - 16y + 15z + 1 = 0, 2x + 2у - z - 1 = 0.

969. Вывести уравнение геометрического места точек, отклонение которых от плоскости 4x - 4у - 2z + 3 = 0 равно 2.

970. Вывести уравнение геометрического места точек, отклонение которых от плоскости 6x + Зу + 2z - 10 = 0 равно -3.

971. Составить уравнения плоскостей, параллельных плоскости 2x - 2y - z - 3 = 0 и отстоящих от нее на расстоянии d = 5.

972. В каждом из следующих случаев составить уравнение геометрического места точек, равноудаленных от двух параллельных плоскостей:

1) 4x - у - 2z - 3 = 0, 2) 3х + 2y - z + 3 = 0,

4х - у - 2z - 5 = 0; Зх + 2y - z - 1 = 0;

3) 5x - 3у + z + 3 = 0,

10x - 6y + 2z + 7 = 0.

973. В каждом из следующих случаев составить уравнения плоскостей, которые делят пополам двугранные углы, образованные двумя пересекающимися плоскостями:

1) х - Зу + 2z - 5 = 0, 2) 5х - 5y - 2z - 3 = 0,

Зx - 2у - z + 3 = 0; х + 7у - 2z + 1 = 0;

3) 2x - y + 5z + 3 = 0,

2x - 10 у + 4z - 2 = 0.

974. В каждом из следующих случаев определить, лежат ли точка М (2; -1; 3) и начало координат в одном, в смежных или вертикальных двугранных углах, образованных при пересечении двух плоскостей:

1) 2x - у + 3z - 5 = 0, 2) 2х + 3у - 5z - 15 = 0,

Зх + 2у - z + 3 = 0; 5х - у - 3z - 7 = 0;

3) х + 5y - z + 1 = 0,

2x + 17y + z + 2 = 0.

975. В каждом из следующих случаев определить, лежат ли точки М1(2; -1; 1) и N (1; 2; -3) в одном, в смежных или вертикальных двугранных углах, образованных при пересечении двух плоскостей:

1) Зх - у + 2z - 3 = 0, 2) 2х - у + 5z - 1 = 0,

х - 2у - z + 4 = 0; Зх - 2у + 6z - 1 = 0.

976. Определить, лежит ли начало координат внутри острого или тупого угла, образованного двумя плоскостями: х - 2у + 3z - 5 = 0, 2х - у - z + 3 = 0.

977. Определить, лежит ли точка М (3; 2; -1) внутри острого или тупого угла, образованного двумя плоскостями: 5х - у + z + 3 = 0, 4х - Зу + 2z + 5 = 0.

978. Составить уравнение плоскости, делящей попо-лам тот двугранный угол между двумя плоскостями 2x - 14y -6z - 1 = 0, 3x + 5у - 5z + 3 = 0, в котором лежит начало координат.

979. Составить уравнение плоскости, делящей попо-лам тот двугранный угол между двумя плоскостями 2х - у + 2z - 3 = 0, 3x + 2у - 6z - 1 =0, в котором лежит точка М(1; 2; -3).

980. Составить уравнение плоскости, которая делит пополам острый двугранный угол, образованный двумя плоскостями: 2x - 3y - 4z - 3 = 0, 4x - 3y - 2z - 3 = 0.

981. Составить уравнение плоскости, которая делит пополам тупой двугранный угол, образованный двумя плоскостями: 3x - 4у - z + 5 = 0, 4x - 3y + z + 5 = 0.