Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку И имеющей данный нормальный вектор
Решение задачВ декартовых координатах каждая плоскость определяется уравнением первой степени и каждое уравнение первой степеней определяет плоскость.
Всякий (не равный нулю) вектор, перпендикулярный к данной плоскости, называется ее нормальным вектором. Уравнение
А (x - x0) + В(у - у0) + C(z - z0) = 0 (1)
определяет плоскость, проходящую через точку М0(x0; y0; z0) и имеющую нормальный вектор n = {А;В;С}.
Раскрывая в уравнении (1) скобки и обозначая число - Ax0 - By0 - Сz0 буквой D, представим его в виде:
Ах + By + Cz + D = 0.
Это уравнение называется общим уравнением плоскости.
913. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку M1(2; 1; -1) и имеет нормальный вектор n = {1; -2; 3}.
914. Составить уравнение плоскости, которая проходит через начало координат и имеет нормальный вектор n = {5; 0; -3}.
915. Точка Р{2; -1; -1) служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость. Составить уравнение этой плоскости.
916. Даны две точки M1(3; -1; 2) и М2(4; -2; - 1). Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M1 перпендикулярно вектору M1M2.
917. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M1(3; 4; -5) параллельно двум векторам a1 = {3; 1; -1} и а2 = {1; -2; 1}.
918. Доказать, что уравнение плоскости, проходящей через точку М0(x0; у0; z0) параллельно двум векторам а1 = (l1; m1; n1) и а2 = (l2; m2; n2) может быть представлено в следующем виде:
919. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки М1(2; -1; 3) и М2(3; 1; 2) параллельно вектору а = {3; -1; 4}.
920. Доказать, что уравнение плоскости, проходящей через точки М1 (x1; у1; z1) и М2(х2; у2; z2) параллельно вектору а = {l; m; n), может быть представлено в следующем виде:
921. Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки: М1(3; -1; 2), М2(4; -1; -1) и М3(2; 0; 2).
922. Доказать, что уравнение плоскости, проходящей через три точки: М1 (x1; у1; z1), М2 (x2; у2; z2) и М3 (x3; у3; z3), может быть представлено в следующем виде:
923. Определить координаты какого-нибудь нормального вектора каждой из следующих плоскостей. В каждом случае написать общее выражение координат произвольного нормального вектора:
1) 2х - у - 2z + 5 = 0; 2) x + 5y - z = 0;
3) Зх - 2у - 7 = 0; 4) 5y - 3z = 0; 5) x + 2 = 0;
6) у - 3 = 0.
924. Установить, какие из следующих пар уравнений определяют параллельные плоскости;
1) 2x - 3у + 5z - 7 = 0, 2x - 3у + 5z + 3 = 0;
2) 4х + 2у - 4z + 5 = 0, 2х + у + 2z - 1 = 0;
3) х - 3z + 2 = о, 2x - 6z - 7 = 0.
925. Установить, какие из следующих пар уравнений определяют перпендикулярные плоскости:
1) 3x - у - 2z - 5 = 0, х + 9у - 3z + 2 = 0;
2) 2x + 3у - z - 3 = 0, x - у - z + 5 = 0;
3) 2x -5у + z = 0, x + 2z - 3 = 0.
926. Определить, при каких значениях l и m следующие пары уравнений будут определять параллельные плоскости:
1) 2x + lу + 3z - 5 = 0, mх - 6у - 6z + 2 = 0;
2) 3x - у + lz - 9 = 0, 2х + mу + 2z - 3 = 0;
3) mх + Зу - 2z - 1 = 0, 2x - 5у - lz = 0.
927. Определить, при каком значении l следующие пары уравнений будут определять перпендикулярные плоскости:
1) 3x - 5у + lz - 3 = 0, х + 3у + 2z + 5 = 0;
2) 5x + у - 3z - 3 = 0, 2x + lу - 3z + 1 = 0;
3) 7х - 2у - z = 0, lх + у - 3z - 1 = 0.
928. Определить двугранные углы, образованные пересечением следующих пар плоскостей:
1) х - у√2 + z - 1 = 0, x + у√2 - z + 3 = 0;
2) 3у - z = 0, 2у + z = 0;
3) 6x + 3у - 2z = 0, x + 2у + 6z - 12 = 0;
4) x + 2у + 2z - 3 = 0, 16x + 12у - 15z - 1 =0.
929. Составить уравнение плоскости, которая про-ходит через начало координат параллельно плоскости 5x - Зу + 2z - 3 = 0.
930. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку М1 (3; -2; -7) параллельно плоскости 2х - 3z + 5 = 0.
931. Составить уравнение плоскости, которая про-ходит через начало координат перпендикулярно к двум плоскостям 2х - у + 3z - 1 = 0, х + 2у + z = 0.
932. Составить уравнение плоскости, которая проводит через точку M1 (2; - 1; 1) перпендикулярно к двум плоскостям 2х - z + 1 - 0, у = 0.
933. Доказать, что уравнение плоскости, проходящей через точку M0(x0;y 0; z0) перпендикулярно к плоскостям A1x + B1y + C1z + D1 = 0, А2х + В2у + С2x + D2 = 0, может быть представлено в следующем виде:
934. Составить уравнение плоскости, которая проходит через две точки M1(l; - 1; -2) и М2(3; 1; 1) перпендикулярно к плоскости х - 2у + 3z - 5 = 0.
935. Доказать, что уравнение плоскости, проходящей через две точки М1{х1; у1; z1) и М2(х2; у2; z2) перпендикулярно к плоскости Ах + By + Cz + D = 0, может быть представлено в следующем виде:
936. Установить, что три плоскости х - 2у + z - 7 = 0, 2х + у - z + 2 = 0, х - Зу + 2z - 11 = 0 имеют одну общую точку, и вычислить ее координаты.
937. Доказать, что три плоскости 7х + 4y + 7х + 1 = 0, 2х - у - z + 2 = 0, x + 2y + Зz - 1 = 0 проходят через одну прямую.
938. Доказать, что три плоскости 2х - у + 3z - 5 = 0, Зх + у + 2z - 1 = 0, 4х + Зу + z + 2 = 0 пересекаются по трем различным параллельным прямым.
939. Определить, при каких значениях а и b плоскости 2х - у + 3z - 1 = 0, х + 2у - z + b = 0, х + ау - 6z + 10 = 0: 1) имеют одну общую точку; 2) проходят через одну прямую; 3) пересекаются по трем различным параллельным прямым.