Неполные уравнения плоскостей. Уравнение плоскости «в отрезках»

Каждое уравнение первой степени

Ах + By + Сz + D = 0

(в декартовых координатах) определяет плоскость. Если в этом уравнении отсутствует свободный член (D = 0), то плоскость проходит через начало координат. Если отсутствует член с одной из текущих координат (т. е. какой-либо из коэффициентов А, В, С равен нулю), то плоскость параллельна одной из координатных осей, именно той, которая одноименна с отсутствующей координатой; если, кроме того, отсутствует свободный член, то плоскость проходит через эту ось. Если в уравнении отсутствуют два члена с текущими координатами (какие-либо два из коэффициентов А, В, С равны нулю), то плоскость параллельна одной из координатных плоскостей, именно той, которая проходит через оси, одноименные с отсутствующими координатами; если, кроме того, отсутствует свободный член, то плоскость совпадает с этой координатной плоскостью.

Если в уравнении плоскости

Ах + By + Cz + D = 0

ни один из коэффициентов А, В, С, D не равен нулю, то это уравнение может быть преобразовано к виду

x/a + y/b + z/c = 1 (1)

где

a = -D/A, b = -D/B, c = -D/C

суть величины отрезков, которые плоскость отсекает на координатных осях (считая каждый от начала координат). Уравнение (1) называется уравнением плоскости «в отрезках».

940. Составить уравнение плоскости, которая проходит:

1) через точку M₁(2; -3; 3) параллельно плоскости Оху,

2) через точку М₂(1; -2; 4) параллельно плоскости Oxz;

3) через точку М₃(-5; 2; -1) параллельно плоскости Oyz.

941. Составить уравнение плоскости, которая проходит:

1) через ось Ох и точку М₁(4; -1; 2);

2) через ось Оу и точку М₂(1; 4; -3);

3) через ось Oz и точку М₃(3; -4; 7).

942. Составить уравнение плоскости, которая проходит:

1) через точки М₁(7; 2; -3) и М₂(5; 6; -4) параллельно оси Ох;

2) через точки P₁(2; -1; 1) и Р₂(3; 1; 2) параллельно оси Оу;

3) через точки Q₁(3; -2; 5) и Q₂(2; 3; 1) параллельно оси Oz.

943. Найти точки пересечения плоскости 2х - 3у - 4z - 24 = 0 с осями координат.

944. Дано уравнение плоскости х + 2у - 3z - 6 = 0. Написать для нее уравнение «в отрезках».

945. Найти отрезки, отсекаемые плоскостью 3х - 4у - 24z + 12 == 0 на координатных осях.

946. Вычислить площадь треугольника, который от-секает плоскость 5x - 6у + Зz + 120 = 0 от координатного угла Оху.

947. Вычислить объем пирамиды, ограниченной плоскостью 2x - 3y + 6z - 12 = 0 и координатными плоскостями.

948. Плоскость проходит через точку М₁(6; -10; 1) и отсекает на оси абсцисс отрезок а = -3 и на оси апликат отрезок с = 2. Составить для этой плоскости уравнение «в отрезках».

949. Плоскость проходит через точки M₁(l; 2; -1) и М₂(-3; 2; 1) и отсекает на оси ординат отрезок b = 3. Составить для этой плоскости уравнение «в отрезках».

950. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку M₁(2; -3; -4) и отсекает на координатных осях отличные от нуля отрезки одинаковой величины (считая каждый отрезок направленным из начала координат).

951. Составить уравнение плоскости, которая про-ходит через точки M₁(- 1; 4; -1), М₂(-13; 2; -10) и отсекает на осях абсцисс и апликат отличные от нуля отрезки одинаковой длины.

952. Составить уравнения плоскостей, которые проходят через точку M₁ (4; 3; 2) и отсекают на координатных осях отличные от нуля отрезки одинаковой длины.

953. Составить уравнение плоскости, отсекающей на оси Oz отрезок с = -5 и перпендикулярной к вектору n = {-2; 1; 3}.

954. Составить уравнение плоскости, параллельной вектору l = {2; 1; -1} и отсекающей на координатных осях Ох и Оу отрезки а = 3, b = - 2.

955. Составить уравнение плоскости, перпендикуляр-ной к плоскости 2х - 2у + 4z - 5 = 0 и отсекающей на координатных осях Ох и Оу отрезки а = - 2, b = 2/3.