Понятие уравнения линии. Задание линии при помощи уравнения

Равенство вида F(x, у) = 0 называется уравнением с двумя переменными х, у, если оно справедливо не для всяких пар чисел х, у. Говорят, что два числа х = x₀, у = y₀ удовлетворяют некоторому уравнению вида F(x, y) = 0, если при подстановке этих чисел вместо переменных х и у в уравнение его левая часть обращается в нуль.

Уравнением данной линии (в назначенной системе координат) называется такое уравнение с двумя переменными, которому удовлетворяют координаты каждой точки, лежащей на этой линии, и не удовлетворяют координаты каждой точки, не лежащей на ней.

В дальнейшем вместо выражения «дано уравнение линии F(x, у) = 0» мы часто будем говорить короче: дана линия F(x, у) = 0.

Если даны уравнения двух линий F(x, у)= 0 и Ф(x, у) = 0, то совместное решение системы

F(x,y) = 0, Ф(х, у) = 0

дает все точки их пересечения. Точнее, каждая пара чисел, являющаяся совместным решением этой системы, определяет одну из точек пересечения,

157. Даны точки *) M₁(2; -2), М₂(2; 2), M₃(2; - 1), M₄(3; -3), M₅(5; -5), М₆(3; -2). Установить, какие из данных точек лежат на линии, определенной уравнением х + y = 0, и какие не лежат на ней. Какая линия определена данным уравнением? (Изобразить ее на чертеже.)

158. На линии, определенной уравнением х² + у² = 25, найти точки, абсциссы которых равны следующим числам: 1) 0, 2) -3, 3) 5, 4) 7; на этой же линии найти точки, ординаты которых равны следующим числам: 5) 3, 6) -5, 7) -8. Какая линия определена данным уравнением? (Изобразить ее на чертеже.)

159. Установить, какие линии определяются следующими уравнениями (построить их на чертеже): 1)x - у = 0; 2) х + у = 0; 3) x - 2 = 0; 4)x + 3 = 0; 5) y - 5 = 0; 6) у + 2 = 0; 7) х = 0; 8) у = 0; 9) х² - хy = 0; 10) ху + у² = 0; 11) х² - у² = 0; 12) ху = 0; 13) у² - 9 = 0; 14) х² - 8x + 15 = 0; 15) у² + by + 4 = 0; 16) х²у - 7ху + 10y = 0; 17) у - |х|; 18) х - |у|; 19) y + |x| = 0; 20) x + |у| = 0; 21) у = |х - 1|; 22) y = |x + 2|; 23) х² + у² = 16; 24) (х - 2)² + {у- 1)² = 16; 25 (x + 5)² + (у-1)² = 9; 26) (x - 1)² + y² = 4; 27) x² + (y + 3)² = 1; 28) (x - 3)² + y² = 0; 29) x² + 2y² = 0; 30) 2x² + 3y² + 5 = 0; 31) (x - 2)² + (y + 3)² + 1 = 0.

160. Даны линии: l)x + y = 0; 2)х - у = 0; 3)x² + у² - 36 = 0; 4) х² + у² - 2х + у = 0; 5) х² + у² + 4х - 6у - 1 = 0. Определить, какие из них проходят через начало координат.

161. Даны линии: 1) х² + у² = 49; 2) {х - 3)² + (у + 4)² = 25; 3) (х + 6)² + (y - З)² = 25; 4) (х + 5)² + (y - 4)² = 9; 5) х² + у² - 12x + 16у - 0; 6) х² + у² - 2x + 8y + 7 = 0; 7) х² + у² - 6х + 4у + 12 = 0. Найти точки их пересечения: а) с осью Ох; б) с осью Оу.

162. Найти точки пересечения двух линий:

1) х² + у² - 8; х - у =0;

2) х² + у² - 16х + 4у + 18 = 0; х + у = 0;

3) х² + у² - 2х + 4у - 3 = 0; х² + у² = 25;

4) х² + у² - 8y + 10у + 40 = 0; х² + у² = 4.

163. В полярной системе координат даны точки M₁(l; π/3),M₂(2; 0).М₃(2; π/4), М₄(√3; π/6) и M₅(1; 2/3π). Установить, какие из этих точек лежат на линии, определенной в полярных координатах уравнением р = 2cosΘ, и какие не лежат на ней. Какая линия определяется данным уравнением? (Изобразить ее на чертеже.)

164. На линии, определенной уравнением p = 3/cosΘ найти точки, полярные углы которых равны следующим числам: а) π/3 , б) - π/3, в) 0, г) π/6. Какая линия определена данным уравнением? (Построить ее на чертеже.)

165. На линии, определенной уравнением p = 1/sinΘ, найти точки, полярные радиусьмкоторых равны следующим числам: а) 1 6) 2, в) √2 . Какая линия определена данным уравнением? (Построить ее на чертеже.)

166. Установить, какие линии определяются в полярных координатах следующими уравнениями (построить их на чертеже): 1) р = 5; 2) Θ = π/2; 3) Θ = - π/4; 4) р cosΘ = 2; 5) p sinΘ = 1; 6.) p = 6cosΘ; 7) р = 10 sinΘ; 8) sinΘ = 1/2; 9) sinp = 1/2.

167. Построить на черТёЖе следующие спйралй Архимеда: 1) р = 20; 2) р = 50; 3) p = Θ/π; 4) р = -Θ/π.

168. Построить на чертеже следующие гиперболиче-ские спирали: 1) p = 1/Θ; 2) p = 5/Θ; 3) р = π/Θ; 4) р= - π/Θ

169. Построить на чертеже следующие логарифми-ческие спирали: 1) р = 2^Θ; 2) p = (1/2)^Θ.

170. Определить длины отрезков, на которые рассе-кает спираль Архимеда р = 3Θ луч, выходящий из полюса и наклоненный к полярной оси под углом Θ = π/6. Сделать чертеж.

171. На спирали Архимеда р = 5/πΘ взята точка С, полярный радиус которой равен 47. Определить, на сколько частей эта спираль рассекает полярный радиус точки С. Сделать чертеж.

172. На гиперболической спирали P = 6/Θ найти точку Р, полярный радиус которой равен 12. Сделать чертеж.

173. На логарифмической спирали р = 3^Θ найти точку P, полярный радиус которой равен 81. Сделать чертеж.