Параметрические уравнения линии

Обозначим буквами х и у координаты некоторой точки М; рассмотрим две функции аргумента t:

x = φ(t), y = ψ(t) (1)

При изменении t величины х и у будут, вообще говоря, меняться, следовательно, точка М будет перемещаться. Равенства (1) называются параметрическими уравнениями линии, которая является траекторией точки М', аргумент t носит название параметра. Если из равенств (1) можно исключить параметр t, то получим уравнение траектории точки М в виде

F (х, у) = 0.

204. Стержень АВ скользит своими концами А и В по координатным осям. Точка М делит стержень на две части AM = а и ВМ = b. Вывести параметрические уравнения траектории точки М, приняв в качестве параметра угол t = (рис. 8). Исключить затем параметр t и найти уравнение траектории точки М в виде F(x,y) = 0.

205. Траекторией точки М является эллипс, уравнение которого x²/a² + y²/b² = 1 (см- задачу 190). Вывести параметрические уравнения траектории точки М, принимая в качестве параметра t угол наклона отрезка OM к оси Ох.

206. Траекторией точки М является гипербола, уравнение которой x²/a² - y²/b² = 1 (см. задачу 191). Вывести параметрические уравнения траектории точки М, принимая в качестве параметра t угол наклона отрезка OM к оси Ох.

207. Траекторией точки М является парабола, уравнение которой у² = 2рх (см. задачу 192). Вывести параметрические уравнения траектории точки М, принимая в качестве параметра t:

1) ординату точки М;

2) угол наклона отрезка OM к оси Ох;

3) угол наклона отрезка FM к оси Ох, где точка F - фокус параболы.

208. Даны полярные уравнения следующих линий:

1) p = 2RcosΘ; 2) p = 2RsinΘ; 3) p = 2pcosΘ/sin²Θ.

Составить параметрические уравнения этих линий в декартовых прямоугольных координатах, совмещая положительную полуось абсцисс с полярной осью и выбирая в качестве параметра полярный угол.

209. Даны параметрические уравнения линий:

1) x = t² - 2t + 1, y = t -1;

2) x = a cost, y = a sint;

3) x = a sect, y = b tgt;

4) x = a/2(t + 1/t), y = b/2(t - 1/t);

5) x = 2R cos²t, y = R sin2t;

6) x = R sin2t, y = 2R sin²t;

7) x = 2p ctg²t, y = 2p ctgt;

исключив параметр t, найти уравнения этих линий в виде

F {х, у) = 0.