Функция двух переменных

Если указано правило, согласно которому с каждой точкой M плоскости (или какой-нибудь части плоскости) сопоставляется некоторое число u, то говорят, что на плоскости (или на части плоскости, «задана функция точки»; задание функции символически выражают равенством вида u - Число u, сопоставляемое с точкой M, называется значением данной функции в точке M. Например, если А - фиксированная точка плоскости, M - произвольная точка, то расстояние от А до M есть функция точки M. В данном случае f(M) = AM.

Пусть дана некоторая функция u = f(М) и вместе с тем введена система координат. Тогда произвольная точка M определяется координатами х, у. Соответственно этому и значение данной функции в точке M определяется координатами х, у, или, как еще говорят, u = f(M) есть функция двух переменных х и у. Функция двух переменных х, у обозначается символом f(x, у); если f(M) = f(x, y) то формула u = f(x, у) называется выражением данной функции в выбранной системе координат. Так, в предыдущем примере f(M)=AM; если ввести декартову прямоугольную систему координат с началом в точке А, то получим выражение этой функции:

u = √(x² + y²)

146. Даны две точки Р и Q, расстояние между которыми равно а, и функция f(M) = d²₁ - d²₂, где d₁ - МР и d₂ - MQ. Определить выражение этой функции, если в качестве начала координат принята точка Р, а ось Ох направлена по отрезку PQ.

147. При условиях задачи 146 определить выражение функции f(M) (непосредственно и при помощи преобра-зования координат, используя результат задачи 146), если:

1) начало координат выбрано в середине отрезка PQ, ось Ох направлена по отрезку PQ.

2) начало координат выбрано в точке Р, а ось Ох направлена по отрезку QP.

148. Даны: квадрат ABCD со стороной а и функция f(M) = d²₁ - d²₂- d²₃ + d²₄, где d₁ = MA, d₂ = MB, d₃ = MC и d₄ = MD. Определить выражение этой функции, если за оси координат приняты диагонали квадрата (причем ось Ох направлена по отрезку AC, ось Оу - по отрезку BD).

149. При условиях задачи 148 определить выражение для f(M) (непосредственно и при помощи преобразования координат, используя результат задачи 148), если начало координат выбрано в точке А, а оси координат направлены по его сторонам (ось Ох - по отрезку AB, ось Оу - по отрезку AD).

150. Дана функция f(х, у) = х² + у² - 6х + 8у. Определить выражение этой функции в новой координатной системе, если начало координат перенесено (без изменения направления осей) в точку O'(3; -4).

151. Дана функция f(x, у) = х² - у² - 16. Опреде-лить выражение этой функции в новой координатной системе, если оси координат повернуты на угол -45°.

152. Дана функция f(x, у) = x² + y². Определить выражение этой функции в новой координатной системе, если оси координат повернуты на некоторый угол α.

153. Найти такую точку, чтобы при переносе в нее начала координат выражение функции f(x,y) = x² - 4у² - 6х + 8у + 3 после преобразования не содержало членов первой степени относительно новых переменных.

154. Найти такую точку, чтобы при переносе в нее начала координат выражение функции f(х, у) = х² - 4ху + 4у² + 2х + у - 7 не содержало членов первой степени относительно новых переменных.

155. На какой угол нужно повернуть оси координат, чтобы выражение функции f (x, у) = х² - 2ху + у² - 6х + З после преобразования не содержало члена с произведением новых переменных?

156. На какой угол нужно повернуть оси координат, чтобы выражение функции f{x, у) = Зх² + 2√3ху + у² после преобразования не содержало члена с произведением новых переменных?