Формулы Крамера

Рассмотрим СЛАУ с квадратной невырожденной матрицей A в матричной записи Ax = b. В такой форме СЛАУ представляет собой частный случай матричного уравнения AX = B при B = b и X = x (см. 11.3). Поэтому она имеет единственное решение x = A^-1b, где A^-1 — матрица, обратная к A.

Чтобы выразить это единственное решение через коэффициенты СЛАУ, запишем A^-1 в виде: A^-1 = (α^ij), где α^ij = A^ji/ det A, а A^ji — алгебраическое дополнение элемента a^ji матрицы A. Перейдем от матричного равенства x = A^-1b к его координатной записи. Тогда для первых элементов в столбцах левой и правой частей последнего равенства имеем

Числитель представляет собой разложение по 1-му столбцу определителя

получающегося, если в матрице A заменить 1-й столбец на столбец свободных членов. Аналогично находим, что

где Δ^j — определитель матрицы, получающейся из матрицы A заменой j-го столбца на столбец свободных членов. Таким образом, установлено следующее правило Крамера.

Теорема 11.5. СЛАУ с квадратной невырожденной матрицей имеет решение, и притом единственное, которое определяется по формулам Крамера (11.1).

Следствие 11.2. Однородная СЛАУ с квадратной невырожденной матрицей имеет единственное решение — нулевое.

Если матрица СЛАУ не является квадратной невырожденной, то формулы Крамера не работают и приходится использовать другие методы нахождения решений.