Эллипс
Решение задачЭллипсом называется геометрическое место точек, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть постоянная величина, большая, чем расстояние между фокусами. Постоянную сумму расстояний произвольной точки эллипса до фокусов принято обозначать через 2а. Фокусы эллипса обозначают буквами F1 и F2, расстояние между ними - через 2с. По определению эллипса 2а > 2с или а > с.
Пусть дан эллипс. Если оси декартовой прямоугольной системы координат выбраны так, что фокусы данного эллипса располагаются на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, то в этой системе координат уравнение данного эллипса имеет вид
x2 /a2 + y2 /b2 = 1, (1)
где b = √(a2 - c2 ); очевидно, а > b. Уравнение вида (1) называется каноническим уравнением эллипса.
При указанном выборе системы координат оси координат являются осями симметрии эллипса, а начало координат - его центром симметрии (рис, 12). Оси симметрии эллипса называются просто его осями, центр симметрии - просто центром. Точки, в которых эллипс пересекает свои оси, называются его вершинами. На рис. 12 вершины эллипса суть точки А', А, В' и В. Часто осями эллипса называются также отрезки А'А = 2а и В'В = 2b; вместе с тем отрезок ОА = а называют большой полуосью эллипса, отрезок OB = b - малой полуосью.
Если фокусы эллипса расположены на оси Оу (симметрично относительно начала координат), то уравнение эллипса имеет тот же вид (1), но в этом случае b > а; следовательно, если мы желаем буквой а обозначать большую полуось, то в уравнении (1) нужно буквы а и b поменять местами. Однако для удобства формулировок задач мы условимся буквой а всегда обозначать полуось, расположенную на оси Ох, буквой b - полуось, расположенную на оси Оу, независимо от того, что больше, а или Ь. Если а = b, то уравнение (1) определяет окружность, рассматриваемую как частный случай эллипса.
Число
ε = c/a,
где а - большая полуось, называется эксцентриситетом эллипса. Очевидно, ε < 1 (для окружности ε = 0). Если М(х; у)-произвольная точка эллипса, то отрезки F1M = r1 и F2M = r2 (рис. 12) называются фокальными радиусами точки M, Фокальные радиусы могут быть вычислены по формулам
r1 = a + εx, r2 = a - εx.
Если эллипс определен уравнением (1) и а > b, то прямые
x = -a/ε, x = a/ε
(рис. 12) называются директрисами эллипса (если b > а, то директрисы определяются уравнениями
y = -b/ε, y = b/ε
Каждая директриса обладает следующим свойством: если r - расстояние произвольной точки эллипса до некоторого фокуса, d - расстояние от той же точки до односторонней с этим фокусом директрисы, то отношение r/d есть постоянная величина, равная эксцентриситету эллипса
r/d = ε
Если две плоскости α и β образуют острый угол φ, то проекцией на плоскость β окружности радиуса а, лежащей на плоскости α, является эллипс с большой полуосью а; малая полуось b этого эллипса определяется по формуле
b = a cosφ
(рис. 13).
Если круглый цилиндр имеет в качестве направляющей окружность радиуса b, то в сечении этого цилиндра плоскостью, наклоненной к оси цилиндра под острым углом φ, будет эллипс, малая полуось которого равна b; большая полуось а этого эллипса определяется по формуле
a = b/sinφ
(рис. 14).
444. Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси абсцисс, симметрично относительно начала координат, зная, кроме того, что:
1) его полуоси равны 5 и 2;
2) его большая ось равна 10, а расстояние между фокусами 2с = 8;
3) его малая ось равна 24, а расстояние между фокусами 2с = 10;
4) расстояние между его фокусами 2с = 6 и эксцентриситет ε = 3/5; 3
5) его большая ось равна 20, а эксцентриситет ε = 3/5;
6) его малая ось равна 10, а эксцентриситет ε = 12/13;
7) расстояние между его директрисами равно 5 и расстояние между фокусами 2с = 4;
8) его большая ось равна 8, а расстояние между директрисами равно 16;
9) его малая ось равна 6, а расстояние между директрисами равно 13;
10) расстояние между его директрисами равно 32 и ε = 1/2.
445. Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси ординат, симметрично относительно начала координат, зная, кроме того, что:
1) его полуоси равны соответственно 7 и 2;
2) его большая ось равна 10, а расстояние между фокусами 2с = 8;
3) расстояние между его фокусами 2с == 24 и эксиентриситет ε = 3/4; ч
4) его малая ось равна 16, а эксцентриситет ε = 3/5;
5) расстояние между его фокусами 2с = 6 и расстояние между директрисами равно 162/3;
6) расстояние между его директрисами равно 10 2/3 и эксцентриситет ε = 3/4.
446. Определить полуоси каждого из следующих эллипсов:
l) x2/16 + y2/9 = 1; 2) x2/4 + y2 = 1; 3) x2 + 25y2 = 25;
4) х2 + 5у2 = 15; 5) 4х2 + 9y2 = 25; 6) 9х2 + 25у2 = 1;
7) х2 + 4yх2 = 1; 8) 16х2 + y2 = 16; 9) 25х2 + 9у2х2 + y2 = 1.
447. Дан эллипс 9x2 + 25y2 == 225. Найти: 1) его полуоси; 2) фокусы; 3) эксцентриситет; 4) уравнения директрис.
448. Вычислить площадь четырехугольника, две вершины которого лежат в фокусах эллипса х2 + 5у2 = 20, а две другие совпадают с концами его малой оси.
449. Дан эллипс 9x2 + 5у2 = 45. Найти: 1) его полуоси; 2) фокусы; 3) эксцентриситет; 4) уравнения директрис.
450. Вычислить площадь четырехугольника, две вер-шины которого лежат в фокусах эллипса 9х2 + 5y2 = 1, две другие совпадают с концами его малой оси.
451. Вычислить расстояние от фокуса F(c; 0) эллипса
x2/a2 + y2/b2 = 1
до односторонней с этим фокусом директрисы.
452. Пользуясь одним циркулем, построить фокусы эллипса x2/16 + y2/9 = 1 (считая, что изображены оси координат и задана масштабная единица).
453. На эллипсе x2/25 + y2/4 = 1 найти точки, абсцисса которых равна -3.
454. Определить, какие из точек A1(-2; 3), A2(2;-2), A3(2; -4), А4(- 1; 3), A5(-4; -3), A6(3; -1), A7(3; -2), A8(2; 1), A9(0; 15) и A10(0; - 16) лежат на эллипсе 8x2 + 5у2 - 77, какие внутри и какие вне его.
455. Установить, какие линии определяются cледующими уравнениями: 1) у = +3/4√(16 - х2); 2) у = -5/3√(9 - х2); 3) x = - 2/3 √(9 - y2); 4) x = + 1/7 √(49 - y2).Изобразить эти линии на чертеже. 2
456. Эксцентриситет эллипса ε = 2/3, фокальный радиус точки М эллипса равен 10. Вычислить расстояние от точки М до односторонней с этим фокусом директрисы.
457. Эксцентриситет эллипса ε = 2/5, расстояние от точки М эллипса до директрисы равно 20. Вычислить расстояние от точки М до фокуса, одностороннего с этой директрисой.
458. Дана точка М1 (2; - 5/3) на эллипсе x2/9 + y2/5 = 1; составить уравнения прямых, на которых лежат фокальные радиусы точки M1.
459. Убедившись, что точка M1(-4; 2,4) лежит на эллипсе x2/25 + y2/16 = 1, определить фокальные радиусы точки M1
460. Эксцентриситет эллипса ε = 1/3, центр его совпадает с началом координат, один из фокусов (-2; 0). Вычислить расстояние от точки M1 эллипса с абсциссой, равной 2, до директрисы, односторонней с данным фокусом.
461. Эксцентриситет эллипса ε = 1/2, центр его совпадает с началом координат, одна из директрис дана уравнением х = 16. Вычислить расстояние от точки M1 эллипса с абсциссой, равной -4, до фокуса, одностороннего с данной директрисой.
462. Определить точки эллипса x2/100 + y2/36 = 1, расстояние которых до правого фокуса равно 14.
463. Определить точки эллипса x2/16 + y2/7 = 1, расстояние которых до левого фокуса равно 2,5.
464. Через фокус эллипса x2/25 + y2/15 = 1 проведен перпендикуляр к его большой оси. Определить расстояния от точек пересечения этого перпендикуляра с эллипсом до фокусов.
465. Составить уравнение эллипса, фокусы которого расположены на оси абсцисс, симметрично относительно начала координат, если даны:
1) точка М1(- 2√5; 2) эллипса и его малая полуось b = 3;
2) точка М1(2; -2) эллипса и его большая полуось а = 4;
3) точки М1(4; - √3) и М2(2√2; 3) эллипса;
4) точка M1(√15; - l) эллипса и расстояние между его фокусами 2с = 8;
5) точка M1 (2; -5/3) эллипса и его эксцентриситет ε = 2/3;
6) точка M1 (8; 12) эллипса и расстояние r1 = 20 от нее до левого фокуса;
7) точка М1 (- √5; 2) эллипса и расстояние между его директрисами равно 10.
466. Определить эксцентриситет ε эллипса, если:
1) его малая ось видна из фокусов под углом в 60°;
2) отрезок между фокусами виден из вершин малой оси под прямым углом;
3) расстояние между директрисами в три раза больше расстояния между фокусами;
4) отрезок перпендикуляра, опущенного из центра эллипса на его директрису, делится вершиной эллипса пополам.
467. Через фокус F эллипса проведен перпендикуляр к его большой оси (рис. 15). Определить, при каком значении эксцентриситета эллипса отрезки АB и OC будут параллельны.
468. Составить уравнение эллипса с полуосями а, b и центром С(х0; y0), если известно, что оси симметрии эллипса параллельны осям координат.
469. Эллипс касается оси абсцисс в точке А (3; 0) и оси ординат в точке В(0; -4). Составить уравнение этого эллипса, зная, что его оси симметрии параллельны координатным осям.
470. Точка С(- 3; 2) является центром эллипса, касающегося обеих координатных осей. Составить уравнение этого эллипса, зная, что его оси симметрии параллельны координатным осям.
471. Установить, что каждое из следующих уравнений определяет эллипс, и найти координаты его центра С, полуоси, эксцентриситет и уравнения директрис:
1) 5х2 + 9у2 - 30х + 18у + 9 = 0;
2) 16x2 + 25y2 + 32x - 100y - 284 = 0;
3) 4х2 + 3y2 - 8х + 12y - 32 = 0.
472. Установить, какие линии определяются следующими уравнениями:
1) y = -7 + 2/5 √(16 + 6x - x2);
2) у = 1 - 4/3 √(-6x - x2);
3) x = -2√(- 5 - 6y - y2);
4) x = - 5 + 2/3 √ (8 + 2y - y2).
Изобразить эти линии на чертеже.
473. Составить уравнение эллипса, зная, что:
1) его большая ось равна 26 и фокусы суть F1(-10;0), F2(14; 0);
2) его малая ось равна 2 и фокусы суть F1(- 1; -1), F2(1; 1);
3) его фокусы суть F1(-2;3/2) , F2(2; -3/2) и эксцентриситет ε = √2/2
4) его фокусы суть F1(1; 3), F2(3; 1) и расстояние между директрисами равно 12√2
474. Составить уравнение эллипса, если известны его эксцентриситет ε = 2/3 , фокус F(2; 1) и уравнение соответствующей директрисы х - 5 = 0.
475. Составить уравнение эллипса, если известны его эксцентриситет ε = 1/2, фокус F(- 4; 1) и уравнение соответствующей директрисы y + 3 = 0.
476. Точка A(- 3; -5) лежит на эллипсе, фокус ко-торого F(- 1; -4), а соответствующая директриса дана уравнением х - 2 = 0. Составить уравнение этого эллипса.
477. Составить уравнение эллипса, если известны его эксцентриситет ε = -1/2, фокус F(3; 0) и уравнение соответствующей директрисы x + y - 1=0.
478. Точка M1(2; - 1) лежит на эллипсе, фокус которого F(1; 0), а соответствующая директриса дана уравнением 2х - у - 10 = 0. Составить уравнение этого эллипса.
479. Точка M1(3; -1) является концом малой оси эллипса, фокусы которого лежат на прямой y + б = 0. Составить уравнение этого эллипса, зная его эксцентриситет ε = √2/2 .
480. Найти точки пересечения прямой х + 2y - 7 = 0 и эллипса х2 + 4у2 = 25.
481. Найти точки пересечения прямой 3x + 10y - 25 = 0 и эллипса x2/25 + y2/4 = 1.
482. Найти точки пересечения прямой 3x - 4y - 40 = 0 и эллипса x2/16 + y2/9 = 1.
483. Определить, как расположена прямая относи-тельно эллипса; пересекает ли, касается или проходит вне его, если прямая и эллипс заданы следующими уравнениями:
1) 2x - y - 3 = 0, x2/16 + y2/9 = 1;
2) 2х + у - 10 = 0, x2/9 + y2/4 = 1;
3) Зх + 2у - 20=0, x2/40 + y2/10 = 1.
484. Определить, при каких значениях m прямая у = - х + m
1) пересекает эллипс x2/20 + y2/5 касается его; 3) проходит вне этого эллипса,
485. Вывести условие, при котором прямая у = kx + m касается эллипса x2/a2 + y2/b2 = 1. аг о£
486. Составить уравнение касательной к эллипсу x2/a2 + y2/b2 = 1 в его точке M1(x1; y1)).
487. Доказать, что касательные к эллипсу x2/a2 + y2/b2 = 1, проведенные в концах одного и того же диаметра, параллельны. (Диаметром эллипса называется его хорда, проходящая через центр.)
488. Составить уравнения касательных к эллипсу x2/10 + 2y2/5 = 1,, параллельных прямой 3x + 2y + 7 = 0.
489. Составить уравнения касательных к эллипсу х2 + 4у2 = 20, перпендикулярных к прямой 2х - 2у - 13 = 0. у2 о 2
490. Провести касательные к эллипсу х2/30 + у2/24 = 1 параллельно прямой 4х - 2у + 23 = 0 и вычислить расстояние d между ними.
491. На эллипсе x2/18 + y2/8 = 1 найти точку М1, ближайшую к прямой 2х - 3у + 25 = 0, и вычислить расстояние d от точки M1 до этой прямой.
492. Из точки A(10/3; 5/3) проведены касательные к эллипсу x2/20 + y2/5 = 1. Составить их уравнения.
493. Из точки C(10; -8) проведены касательные к эллипсу x2/25 + y2/16 = 1. Составить уравнение хорды, соединяющей точки касания.
494. Из точки Р(- 16; 9) проведены касательные к эллипсу x2/4 + y2/3 = 1. Вычислить расстояние d от точки Р до хорды эллипса, соединяющей точки касания.
495. Эллипс проходит через точку А(4; -1) и касается прямой х + 4у - 10 = 0. Составить уравнение этого эллипса при условии, что его оси совпадают с осями координат.
496. Составить уравнение эллипса, касающегося двух прямых 3x - 2y - 20 = 0, x + 6y - 20 == 0, при условии, что его оси совпадают с осями координат.
497. Доказать, что произведение расстояний от центра эллипса до точки пересечения любой его касательной с фокальной осью и до основания перпендикуляра, опущенного из точки касания на фокальную ось, есть величина постоянная, равная квадрату большой полуоси эллипса.
498. Доказать, что произведение расстояний от фокусов до любой касательной к эллипсу равно квадрату малой полуоси.
499. Прямая x - y - 5 == 0 касается эллипса, фокусы которого находятся в точках F1(-3; 0) и F2(3; 0). Составить уравнение этого эллипса.
500. Составить уравнение эллипса, фокусы которого расположены на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, если известны уравнение касательной к эллипсу 3х + 10y - 25 = 0 и его малая полуось b = 2,
501. Доказать, что прямая, касающаяся эллипса в некоторой точке М, составляет равные углы с фокальными радиусами F1M, F2M и проходит вне угла F1MF2.
502. Из левого фокуса эллипса x2/45 + y2/20 = 1 под тупым углом α к оси Ох направлен луч света. Известно, что tgα = -2. Дойдя до эллипса, луч от него отразился. Составить уравнение прямой, на которой лежит отраженный луч.
503. Определить точки пересечения двух эллипсов: x2 + 9y2 - 45 = 0, х2 + 9у2 - 6х - 27 = 0.
504. Убедившись, что два эллипса n2х2 + m2у2 - m2n2 = 0, m2х2 + n2у2 - m2n2 = 0 (m ≠ n) пересекаются в четырех точках, лежащих на окружности с центром в начале координат, определить радиус R этой окружности.
505. Две плоскости α и β образуют угол φ = 30°. Определить полуоси эллипса, полученного проектированием на плоскость β окружности радиуса R = 10, лежащей на плоскости α .
506. Эллипс, малая полуось которого равна 6, является проекцией окружности радиуса R = 12. Определить угол φ между плоскостями, в которых лежат эллипс и окружность.
507. Направляющей круглого цилиндра является окружность радиуса R = 8. Определить полуоси эллипса, полученного в сечении этого цилиндра плоскостью, наклоненной к его оси под углом φ = 30°.
508. Направляющей круглого цилиндра является окружность радиуса R = √3. Определить, под каким углом к оси цилиндра нужно его пересечь плоскостью, чтобы в сечении получить эллипс с большой полуосью а = 2.
509. Равномерным сжатием (или равномерным рас-тяжением) плоскости к оси абсцисс называется такое преобразование точек плоскости, при котором произвольная точка М(х; у) перемещается в точку М'(х';у') (рис. 16) так, что х' = х, у' = qy, где q > 0 - постоянная, называемая коэффициентом равномерного сжатия.Аналогично определяется равномерное сжатие плоскости
к оси Оу при помощи уравнений х’ = qх, у' = у (рис. 17).
Определить, в какую линию преобразуется окружность x2 + y2 = 25, если коэффициент равномерного сжатия плоскости к оси абсцисс q = 4/5.
510. Коэффициент равномерного сжатия плоскости к оси Оу равен 3/4. Определить уравнение линии, в которую при таком сжатии преобразуется эллипс x2/16 + y2/9 = 1.
511. Найти уравнение линии, в которую преобразуется эллипс x2/49 + y2/9 = 1. при двух последовательных равномерных сжатиях плоскости к координатным осям, если коэффициенты равномерного сжатия плоскости к осям Ох и Оу равны соответственно 4/3 и 6/7.
512. Определить коэффициент q равномерного сжатия плоскости к оси Ох, при котором эллипс x2/36 + y2/9 = 1 преобразуется в эллипс x2/36 + y2/16 = 1
513. Определить коэффициент q равномерного сжатия плоскости к оси Оу, при котором эллипс x2/81 + y2/25 = 1 преобразуется в эллипс x2/36 + y2/25 = 1
514. Определить коэффициенты q1 и q2 двух последовательных равномерных сжатий плоскости к осям Ох и Оу, при которых эллипс x2/25 + y2/9 = 1 преобразуется в окружность х2 + y2 = 16.