Уравнение пучка прямых
Решение задачСовокупность прямых, проходящих через некоторую точку S, называется пучком прямых с центром S.
Если A1x + В1у + C1 = 0 и А2х + В2у + С2 = 0 - уравнения двух прямых, пересекающихся в точке S, то уравнение
α(A1x + В1у + C1) + β(А2х + В2у + С2) = 0, (1)
где α, β - какие угодно числа, не равные одновременно нулю, определяет прямую, также проходящую через точку S.
Более того, в уравнении (1) числа α, β всегда возможно подобрать так, чтобы оно определило любую (заранее назначенную) прямую, проходящую через точку S, иначе говоря, любую прямую пучка с центром S. Поэтому уравнение вида (1) называется уравнением пучка (с центром S).
Если α ≠ 0, то, деля обе части уравнения (1) на α и полагая β/α = λ, получим:
A1x + В1у + C1 + λ(А2x + В2у + С2) = 0. (2)
Этим уравнением можно определить любую прямую пучка с центром S, кроме той, которая соответствует α = 0, т. е. кроме прямой А2х + В2у + С2 = 0.
353. Найти центр пучка прямых, данного уравнением α(2х + 3y - 1) + β(х - 2у - 4) = 0.
354. Найти уравнение прямой, принадлежащей пучку прямых α(х + 2y - 5) + β(Зх - 2у + 1) = 0 и
1) проходящей через точку A(3; -1);
2) проходящей через начало координат;
3) параллельной оси Ох;
4) параллельной оси Оу;
5) параллельной прямой 4х + Зу + 5 = 0;
6) перпендикулярной к прямой 2х + Зу + 7 = 0.
355. Составить уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых Зx - 2у + 5 = 0, 4х + Зу - 1 = 0 и отсекающей на оси ординат отрезок b = -3. Решить задачу, не определяя координат точки пересечения данных прямых.
356. Составить уравнение прямой, которая проходит .через точку пересечения прямых 2x + y - 2 = 0, х - 5y - 23 = 0 и делит пополам отрезок, ограниченный точками M1(5; -6) и М2(-1; -4). Решить задачу, не вычисляя координат точки пересечения данных прямых.
357. Дано уравнение пучка прямых α(Зх - 4у - 3) + β(2х + 3у - 1) = 0. Написать уравнение прямой этого пучка, проходящей через центр тяжести однородной треугольной пластинки, вершины которой суть точки А (-1; 2), В(4; -4) и С(6; -1).
358. Дано уравнение пучка прямых α(Зх - 2у - 1) + β(4х - 5y + 8) = 0. Найти прямую этого пучка, проходящую через середину отрезка прямой х + 2y + 4 = О, заключенного между прямыми 2х + 3y + 5 = 0, x + 7у - 1 = 0.
359. Даны уравнения сторон треугольника х + 2y - 1=0, 5х + 4y - 17 = 0, х - 4y + 11 = 0. Не определяя координат его вершин, составить уравнения высот этого треугольника.
360. Составить уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых 2х + 7у - 8 = 0, Зх + 2у + 5 = 0 под углом в 45° к прямой 2х + 3y - 7 = 0. Решить задачу, не вычисляя координат точки пересечения данных прямых.
361. В треугольнике ABC даны уравнения высоты AN: х + 5у - 3 = 0, высоты BN: х + у - 1 = 0 и стороны АВ: х + 3у - 1 = 0. Не определяя координат вершин и точки пересечения высот треугольника, составить уравнение двух других сторон и третьей высоты.
362. Составить уравнения сторон треугольника ABC, зная одну его вершину А (2; -1), а также уравнения высоты 7х - 10y + l = 0 и биссектрисы Зх - 2y + 5 = 0, проведенных из одной вершины. Решить задачу, не вычисляя координат вершин В и С.
363. Дано уравнение пучка прямых α(2х+ y + 8)+ β(х + y + 3) = 0. Найти прямые этого пучка, отрезки которых, заключенные между прямыми х - у - 5 = 0, х - y - 2 = 0, равны √5.
364. Дано уравнение пучка прямых α(3х + y - 1) + β(2х - y - 9) = 0. Доказать, что прямая х + 3y + 13 = 0 принадлежит этому пучку.
365. Дано уравнение пучка прямых α(5х + 3y + 6) + β(2х -4y - 37) = 0. Доказать, что прямая 7х + 2y - 15 = 0 не принадлежит этому пучку.
366. Дано уравнение пучка прямых α(3х +2y - 9) + β(2х + 5y +5) = 0. Найти, при каком значении С прямая 4х - Зу + С - 0 будет принадлежать этому пучку.
367. Дано уравнение пучка прямых α(5x + Зу - 7) + β(3x + 10у + 4) = 0. Найти, при каких значениях а прямая" ax + 5y + 9 = 0 не будет принадлежать этому пучку.
368. Центр пучка прямых α(2х- 3y + 20) + β (3x + 5y - 27) = 0 является вершиной квадрата, диагональ которого лежит на прямой х + 7у - 16 = 0. Составить уравнения сторон и второй диагонали этого квадрата.
369. Дано уравнение пучка прямых α(2х + 5у + 4) + β(3x- 2y + 25) = 0. Найти прямую этого пучка, отсекающую на координатных осях отличные от нуля отрезки равной величины (считая от начала координат).
370. Дано уравнение пучка прямых α(2х + у + 1)+ β(x - 3у - 10) = 0. Найти прямые этого пучка, отсекающие на координатных осях отрезки равной длины (считая от начала координат).
371. Дано уравнение пучка прямых α(21ч + 8у - 18) + β(11x + Зу + 12) = 0. Найти прямые этого пучка, отсекающие от координатных углов треугольники с площадью, равной 9 кв. ед.
372. Дано уравнение пучка прямых α(2ч + y + 4) + β(х - 3) = 0. Доказать, что среди прямых этого пучка существует только одна прямая, отстоящая от точки Р(2; -3) на расстоянии d = √10- Написать уравнение этой прямой.
373. Дано уравнение пучка прямых α(2х- у - 6) + β(x - y - 4) = 0. Доказать, что среди прямых этого пучка нет прямой, отстоящей от точки Р(3; -1) на расстоянии d = 3.
374. Составить уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых Зх + у - 5 = 0, х - 2y + 10 = 0 и отстоящей от точки С(-1; -2) на 'расстоянии d = 5. Решить задачу, не вычисляя координат точки пересечения данных прямых.
375. Дано уравнение пучка прямых α(5х + 2y + 4) + β(х + 9у - 25) = 0. Написать уравнения прямых этого пучка, которые вместе с прямыми 2х - Зу + 5 = 0, 12x + 8у - 7 = 0 образуют равнобедренные треугольники.
376. Составить уравнение прямой, которая проходит через точку пересечения прямых 11x + Зy - 7 = 0, 12x + y - 19 = 0 на одинаковых расстояниях от точек А(3; -2) и В(- 1; 6). Решить задачу, не вычисляя координат точки пересечения данных прямых.
377. Даны уравнения двух пучков прямых
α1(5x + 3y - 2) + β1(Зx - y - 4) = 0,
α2(x - y + 1) + β2(2x - y - 4) = 0.
Не определяя их центров, составить уравнение прямой, принадлежащей обоим пучкам.
378. Стороны АВ, BС, CD и DA четырехугольника ABCD заданы соответственно уравнениями 5х + y + 13 = 0, 2х - 7у - 17 = 0, Зх + 2у - 13 = 0, Зх - 4у + 17 = 0. Не определяя координат вершин этого че-тырехугольника, составить уравнения его диагоналей АС и BD.
379. Центр пучка прямых α(2х + 3y + 5) + β(3х - у + 2) = 0 является одной из вершин треугольника, две высоты которого даны уравнениями х - 4y + 1 = 0, 2x + y + 1 = 0. Составить уравнения сторон этого треугольника.