Решение и исследование системы трех уравнений первой степени с тремя неизвестными

Решение задач

Рассмотрим систему уравнений

Решение и исследование системы трех уравнений первой степени с тремя неизвестными

с неизвестными х, у, я (коэффициенты а1,b1, ... с1 и свободные члены h1, h2, h3 предположим данными).

Введем обозначения:

Решение и исследование системы трех уравнений первой степени с тремя неизвестными

Определитель Δ, составленный из коэффициентов при неизвестных системы (1), называется определителем данной системы.

Полезно заметить, что определители Δx, Δy, Δz получаются из определителя Δ при помощи замены соответственно его первого, второго и, наконец, третьего столбца - столбцом свободных членов данной системы.

Если Δ ≠ 0, то система (1) имеет единственное решение; оно определяется формулами

x = Δx/Δ, y = Δy/Δ, z = Δz

Предположим теперь, что определитель системы равен нулю; Δ = 0. Если в случае Δ = 0 хотя бы один из определителей Δx, Δyz отличен от нуля, то система (1) совсем не имеет решений.

В случае, когда Δ = 0 и одновременно Δx = 0, Δy = 0, Δz = 0, система (1) также может совсем не иметь решений; но если система (1) при этих условиях имеет хотя бы одно решение, то она имеет бесконечно много различных решений. Однородной системой трех уравнений первой степени с тремя неизвестными называется система вида:

Решение и исследование системы трех уравнений первой степени с тремя неизвестными

т. е. система уравнений, свободные члены которых равны нулю. Очевидно, что такая система всегда имеет решение: х = 0, у = 0, z = 0; оно называется нулевым. Если Δ ≠ 0, то это решение является единственным. Если же Δ = 0, то однородная система (2) имеет бесконечно много ненулевых решений, 

В задачах 1236-1243 требуется установить, что системы уравнений имеют единственное решение, и найти его.

Решение и исследование системы трех уравнений первой степени с тремя неизвестными

1244. Найти все решения системы

Решение и исследование системы трех уравнений первой степени с тремя неизвестными

1245. Найти все решения системы

Решение и исследование системы трех уравнений первой степени с тремя неизвестными

1246. Найти все решения системы

Решение и исследование системы трех уравнений первой степени с тремя неизвестными

1247. Определить, при каких значениях а и b система уравнений

Решение и исследование системы трех уравнений первой степени с тремя неизвестными

1) имеет единственное решение;

2) не имеет решений;

3) имеет бесконечно много решений.

1248. Доказать, что если система уравнений

Решение и исследование системы трех уравнений первой степени с тремя неизвестными

1249. Найти все решения системы

Решение и исследование системы трех уравнений первой степени с тремя неизвестными

1250. Найти все решения системы

Решение и исследование системы трех уравнений первой степени с тремя неизвестными

1251. Определить, при каком значении а система однородных уравнений

Решение и исследование системы трех уравнений первой степени с тремя неизвестными

имеет ненулевое решение.