Неполные уравнения кривой второго порядка

Если в уравнении

Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0, A² + B² + C² ≠ 0, (8.4)

кривой второго порядка на плоскости либо B = 0 (нет слагаемого с произведением переменных), либо A = C = 0 (нет слагаемых с квадратами переменных), то такое уравнение называют неполным.

Неполное уравнение второго порядка при помощи параллельного переноса системы координат и, возможно, дополнительного поворота системы координат на плоскости на угол π/2, —π/2 или π можно преобразовать либо в каноническое уравнение эллипса, либо в каноническое уравнение гиперболы, либо в каноническое уравнение параболы, либо в уравнение гиперболы в асимптотах. Кроме того, есть особые случаи, когда уравнение не сводится ни к одному из вышеперечисленных (случаи вырождения кривой второго порядка).

Замечание 8.2. Поворот системы координат на плоскости xOy соответствует введению новых переменных . При этом в случае поворота на угол на угол . Такие замены переменных удобно называть переобозначениями переменных.

Рассмотрим преобразование неполного уравнения кривой второго порядка. Если уравнение второго порядка не содержит слагаемого с произведением переменных (B = 0), то для его преобразования используют выделение полного квадрата по каждому из переменных, которые входят в уравнение во второй и в первой степени. Напомним, что для квадратного трехчлена ax² + bx + c, a ≠ 0, выделением полного квадрата по х называют следующее его тождественное преобразование:

При B = 0 возможны три варианта.

1. В первом варианте при A ≠ 0 и C ≠ 0 уравнение (8.4) путем выделения полного квадрата по x (при D ≠ 0) и по у (при E ≠ 0) приводится к виду

A(x — x₀)² + C (у — у₀)² = F', (8.5)

где x₀ = — D/2A, у₀ = — E/2C, F' = — F + D²/4A + E²/4C.

Если в (8.5) F' ≠ 0, то, введя обозначения a² = |F'| / |A|, b² = |F'|/|C| и учитывая знаки коэффициентов в (8.5), приходим к одному из следующих четырех уравнений:

Геометрическим образом последнего уравнения является пустое множество, которое иногда называют мнимым эллипсом. Первое (второе, третье) из этих уравнений называют смещенным уравнением гиперболы (сопряженной гиперболы, эллипса), поскольку после параллельного переноса системы координат x' = x — x₀, у' = у — у₀ в новых переменных эти уравнения примут соответственно вид

(x')²/a² - (у')²/b² = 1, (x')²/a² - (у')²/b² = -1, (x')²/a² + (у')²/b² = 1.

Отметим, что среди последних трех уравнений канонический вид всегда имеют первые два уравнения, а третье — лишь при a ≥ b. Если в последнем уравнении a и b удовлетворяют неравенству a < b, то это уравнение примет канонический вид после переобозначения переменных .

Если в уравнении (8.5) F' = 0, то оно имеет вид A(x — x₀)² + C(у — у₀)² = 0. Геометрическим образом этого уравнения при AC > 0 будет точка с координатами (x₀; у₀), а при AC < 0 — пара пересекающихся прямых √|A|(x — x₀) ± √|C|(у — у₀) =0.

2. Второй вариант соответствует A ≠ 0, C = 0. При E ≠ 0, т.е. когда в уравнении присутствует слагаемое с у в первой степени, выделяем полный квадрат по переменному x (при D ≠ 0). Перенеся затем остальные слагаемые в правую часть, получим A(x — x₀)² = — Еу + F',

где x₀ = —D/(2A); F' = D²/(4A) — F. В результате приходим к уравнению A(x — x₀)² = —Е(у — у₀), где у₀ = F'/E. Полагая p = |Е| /(2|A|), найдем смещенное уравнение параболы (x — x₀)² = 2р(у — у₀) (при AE < 0) или (x — x₀)² = — 2р(у — у₀) (при AE > 0). После параллельного переноса системы координат x' = x — x₀, у' = у — у₀ эти уравнения сводятся к (x')² = 2ру' и (x')² = — 2ру' соответственно. Наконец, полученные уравнения преобразуются в каноническое уравнение параболы после переобозначения переменных и соответственно.

Если в этом варианте слагаемое с у в первой степени в уравнении отсутствует (E = 0), то уравнение имеет вид Ax² + Dx + F = 0, A ≠ 0, т.е. является квадратным относительно x. Это один из вырожденных случаев, поскольку (8.4) является уравнением относительно одного переменного. Выделение полного квадрата в этом случае сводит уравнение к одному из трех видов:

(x — x₀)² = a² , (x — x₀)² = 0, (x — x₀)² = —a² ,

где x₀ = —D/(2A), . Первое из этих уравнений описывает на плоскости пару параллельных прямых x = x₀ ± a, которые во втором случае сливаются в одну прямую x = x₀. Третье уравнение задает на плоскости пустое множество (уравнение пары мнимых параллельных прямых).

3. Третий вариант A = 0, C ≠ 0 аналогичен второму (сводится к нему переобозначением переменных ). Поэтому при D ≠ 0, т.е. когда в уравнении присутствует слагаемое с x в первой степени, выделяя полный квадрат по переменному у (при E ≠ 0) и перенося остальные слагаемые в правую часть, находим C(у — у₀)² = —Dx + F', где у₀ = —E/(2C); F' = E²/(4C) — F. В результате приходим к уравнению C(у — у₀)² = —D(x — x₀), где x₀ = F'/D. Полагая p = |D|/(2|C|), мы опять получим смещенное уравнение параболы (у — у₀)² = 2p(x — x₀) (при CD < 0) или (у — у₀)² = —2p(x — x₀) (при CD > 0). После параллельного переноса системы координат x' = x — x₀, у' = у — у₀ первое из этих уравнений преобразуется в каноническое уравнение параболы (у')² = 2px', а второе сведется к уравнению (у')² = — 2px'. Последнее уравнение преобразуется в каноническое уравнение параболы после переобозначения переменных x .

Если в этом варианте слагаемое с x в первой степени в уравнении отсутствует (D = 0), то уравнение имеет вид Cy² + Ey + F = 0, C ≠ 0, т.е. является квадратным относительно у. Это тоже один из вырожденных случаев, в котором выделение полного квадрата по у дает уравнение одного из трех видов:

(у — у₀)² = a², (у — у₀)² = 0, (у —у₀)2 = — a²,

где у₀ = —E/(2C); . Так что и в этом случае получаем пару параллельных (различных, совпадающих, мнимых) прямых, параллельных оси Ox.

Рассмотрим случай, когда в уравнении (8.4) отсутствуют квадраты переменных, т.е. оно имеет вид

Bxy + Dx + Ey + F = 0, B ≠ 0. (8.6)

Такое уравнение можно привести к виду (x — x₀)(y — у₀) + F' = 0, где x₀ = —E/B; у₀ = —D/B; F' = F/B — x₀y₀. Полагая |F'| = a²/2, в зависимости от знака F' приходим к одному из уравнений

(x — x₀)(у — у₀) = a²/2, (x — x₀)(у — у₀) = —a²/2. (8-7)

Если a ≠ 0, мы получаем смещенное уравнение гиперболы в асимптотах. Название отражает то, что после параллельного переноса системы координат x' = x — x₀, у' = у — у₀ уравнение превратится в уравнение гиперболы в асимптотах x'y' = a²/2 или в уравнение сопряженной гиперболы в асимптотах x'y' = —a²/2.

Если a = 0, оба уравнения (8.7) будут одинаковы, их геометрическим образом будет пара пересекающихся прямых x = x₀ и y = y₀.

Несложный анализ приведенных преобразований неполного уравнения кривой второго порядка показывает, что при AC > 0, B = 0 геометрическим образом уравнения могут быть лишь эллипс (окружность при A = C), точка или мнимый эллипс. Поэтому случай AC > 0, B = 0 называют эллиптическим.

В то же время в случае AC < 0, B = 0 геометрическим образом уравнения могут быть лишь гипербола или пара пересекающихся прямых, которую можно рассматривать как вырожденный случай гиперболы. Аналогична ситуация и в случае A = C = 0, B ≠ 0. Эти случаи называют гиперболическими.

Наконец, если в уравнении из трех коэффициентов при слагаемых второго порядка отличен от нуля только один, A или C, то геометрическим образом может быть или парабола, или пара параллельных прямых (включая случаи совпадающих и мнимых прямых). Этот случай называют параболическим.

В задачах на исследование кривых второго порядка, заданных в прямоугольной системе ко-ординат неполными уравнениями, обычно требуется определить каноническое уравнение и в системе координат Oxy найти: для параболы — координаты вершины и фокуса, уравнение директрисы; для эллипса — координаты центра, вершин и фокусов, полуоси и эксцентриситет, уравнения директрис, а для гиперболы — еще и уравнения асимптот.

Пример 8.3. Исследуем кривую второго порядка, заданную своим уравнением 9x² + 4y² — 18x + 16y — 11 = 0.

В этом неполном уравнении второго порядка коэффициенты при квадратах переменных имеют одинаковый знак. Значит уравнение относится к эллиптическому типу. Выделяя полные квадраты по обеим переменным, получаем 9(x² — 2x + 1 — 1) + 4(y² + 4y + 4 — 4) — 11 = 0, 9(x — 1)² + 4(y + 2)² = 36, (x - 1)2²/2² + (y + 2)2²/3² = 1. Следовательно, после параллельного переноса системы координат x' = x — 1, y' = y + 2 получим уравнение

(x')²/2² + (y')²/3² = 1,

которое задает эллипс с полуосями a = 2, b = 3. Так как a < b, то фокусы лежат на вертикальной оси симметрии. Поэтому c = √(b² - a²) = √5, а эксцентриситет ε = c/b = √5/3. Центр эллипса находится в точке O' с координатами (1; —2) (рис. 8.5). Отметим, что полученное уравнение эллипса не является каноническим, для перехода в каноническую систему координат требуется дополнительный поворот системы координат O'x'y' на угол 90°.

Приведем остальные характеристики кривой:

Пример 8.4. Неполное уравнение 4x² + 16у² + 8x — 64у + 4 = 0 кривой второго порядка тоже относится к эллиптическому типу. Выделяя полные квадраты по обеим переменным, получаем 4(x² + 2x +1 — 1) + 16(у² — 4у + 4 — 4) + 4 = 0,4(x + 1)² + 16(у — 2)² = 64, (x + 1)²/4² + (y —2)²/2² = 1. Выполнив параллельный перенос системы координат x' = x + 1, у' = у — 2, запишем каноническое уравнение эллипса

(x')²/4² + (y')²/2² = 1

с полуосями a = 4, b = 2. Так как a > b, то фокусы лежат на горизонтальной оси симметрии. Поэтому c = √(a² — b²) = 2√3, а эксцентриситет ε = c/a = √3/2. Центр эллипса находится в точке O' с координатами (—1; 2) (рис. 8.6). Приведем остальные характеристики кривой:

Пример 8.5. В неполном уравнении кривой второго порядка 4x² — 9у² — 24x + 18у — 9 = 0 коэффициенты при квадратах переменных имеют противоположные знаки. Поэтому уравнение относится к гиперболическому типу. Выделяя полные квадраты по обеим переменным, получаем 4(x² — 6x + 9 — 9) — 9(у² — 2у + 1 — 1) — 9 = 0, 4(x — 3)² — 9(у — 1)² = 36, (x —3)²/3² — (у —1)²/2² = 1. В канонических координатах x' = x — 3, у' = у — 1 уравнение имеет вид

(x')²/3² - (y')²/2² = 1.

Оно задает гиперболу с центром в точке O'(3; 1), действительной полуосью a = 3,мнимой полуосью b = 2. При этом c = √(a² + b²) = + √13, ε = c/a = √13/3 (рис. 8.7).

Приведем сводку остальных характеристик по этой гиперболе:

Пример 8.6. Неполное уравнение кривой второго порядка x² + 2х — 6у + 7 = 0 относится к параболическому типу, поскольку содержит только одно слагаемое с переменным в квадрате. Выделяя полный квадрат по x, получаем (x² + 2x + 1 — 1) — 6у + 7 = 0, (x + 1)² = 6(у — 1). В координатах x' = x + 1, у' = у — 1 уравнение имеет вид (x')² = 2 • 3у'. Это парабола с вертикальной осью симметрии, для которой p = 3, а p/2 = 1,5. Вершина параболы находится в точке O'(—1; 1) (рис. 8.8). Укажем остальные характеристики кривой:

Пример 8.7. Неполное уравнение xy — x — 2у + 6 = 0 кривой второго порядка относится к гиперболическому типу, поскольку оно не содержит слагаемых с квадратами переменных, но имеет слагаемое с их произведением. Преобразуем уравнение. В канонических переменных x' = x — 2, у' = у — 1 уравнение имеет вид x'y' = — (2√2)²/2, т.е. представляет собой уравнение сопряженной гиперболы в асимптотах с полуосями a = b = 2√2- Далее находим c =√(a² + b²) = = 4, ε = c/a = 4/(2√2) = √2. Центр гиперболы находится в точке O'(2; 1) (рис. 8.9).