Линейная зависимость строк и столбцов

Теория

Строки и столбцы матриц можно рассматривать как матрицы-строки и, соответственно, матрицы-столбцы. Поэтому над ними, как и над любыми другими матрицами, можно выполнять линейные операции. Ограничение на операцию сложения состоит в том, что строки (столбцы) должны быть одинаковой длины (высоты), но это условие всегда выполнено для строк (столбцов) одной матрицы.

Линейные операции над строками (столбцами) дают возможность составлять строки (столбцы) в виде выражений α1а1 + ... + αsas, где а1, ..., as — произвольный набор строк (столбцов) одинаковой длины (высоты), а α1, ... , αs — действительные числа. Такие выражения называют линейными комбинациями строк (столбцов).

Определение 12.3. Строки (столбцы) а1, ..., as называют линейно независимыми, если равенство

α1а1 + ... + αsas = 0, (12.1)

где 0 в правой части — нулевая строка (столбец), возможно лишь при α1 = ... = as = 0. В противном случае, когда существуют такие действительные числа α1, ... , αs, не равные нулю одновременно, что выполняется равенство (12.1), эти строки (столбцы) называют линейно зависимыми.

Следующее утверждение известно как критерий линейной зависимости.

Теорема 12.3. Строки (столбцы) а1, ..., as, s > 1, линейно зависимы тогда и только тогда, когда хотя бы одна (один) из них является линейной комбинацией остальных.

◄ Доказательство проведем для строк, а для столбцов оно аналогично.

Необходимость. Если строки a1, ..., as линейно зависимы, то, согласно определению 12.3, существуют такие действительные числа α1, ... , αs, не равные нулю одновременно, что α1a1 +... + αsas = 0. Выберем ненулевой коэффициент ααi. Для определенности пусть это будет α1. Тогда α1a1 = (-α2)a2 + ... + (-αs)as и, следовательно, a1 = (-α21)a2+ ... + (-αs1)as , т.е. строка a1 представляется в виде линейной комбинации остальных строк.

Достаточность. Пусть, например, a1 = λ2a2 + ... + λsas. Тогда 1a1 + (-λ2)a2 + ... +(-λs)as = 0. Первый коэффициент линейной комбинации равен единице, т.е. он ненулевой. Согласно определению 12.3, строки a1, ..., as линейно зависимы. ►

Теорема 12.4. Пусть строки (столбцы) а1, ..., as линейно независимы, а хотя бы одна из строк (столбцов) b1,..., bl является их линейной комбинацией. Тогда все строки (столбцы) a1, ..., as, b1, ..., bl линейно зависимы.

◄ Пусть, например, b1 есть линейная комбинация a1, ..., as, т.е. b1 = α1a1 + ... + αsas, αi ∈R, i = 1,s. В эту линейную комбинацию добавим строки (столбцы) b2, ..., bl (при l > 1) с нулевыми коэффициентами: b1 = α1a1 + ... + αsas + 0b2 + ... + 0bl. Согласно теореме 12.3, строки (столбцы) a1, ..., as, b1, ..., bi линейно зависимы. ►