Теорема о базисном миноре

Среди миноров матрицы могут быть как равные нулю, так и отличные от нуля.

Определение 12.4. Минор М матрицы A называют базисным, если выполнены два условия:

а) он не равен нулю;

б) его порядок равен рангу матрицы A.

Матрица A может иметь несколько базисных миноров. Строки и столбцы матрицы A, в которых расположен выбранный базисный минор, называют базисными.

Следующую теорему, занимающую одно из центральных мест в теории матриц и ее прило-жениях, называют теоремой о базисном миноре.

Теорема 12.5. Базисные строки (столбцы) матрицы A, соответствующие любому ее базисному минору M, линейно независимы. Любые строки (столбцы) матрицы A, не входящие в М, являются линейными комбинациями базисных строк (столбцов).

◄ Доказательство проведем для строк. Пусть ранг матрицы A = (a_ij) типа m × n равен r. Фиксируем какой-либо ее базисный минор M и соответствующие ему базисные строки матрицы A.

Докажем, что базисные строки линейно независимы. Предположим, что они линейно зависимы. Тогда по теореме 12.3 одна из них является линейной комбинацией остальных базисных строк. Согласно свойствам определителей, минор M равен нулю. Это противоречит тому, что минор M базисный.

Теперь докажем, что любая строка матрицы A, не входящая в базисный минор, является линейной комбинацией базисных строк. Предположим, не ограничивая общности доказательства, что базисный минор M расположен в верхнем левом углу матрицы. Пусть i — номер строки, не являющейся базисной, т.е. r + 1 ≤ i ≤ m. Покажем, что определитель порядка r + 1

полученный добавлением к минору M элементов i-й строки и произвольного j-го столбца матрицы A, j = 1,n, равен нулю. При j ≤ r определитель равен нулю, так как он содержит два одинаковых столбца. Если же j > r, то Δ = 0, так как в этом случае Δ является минором матрицы A, порядок которого равен r + 1 и больше ранга матрицы. Итак, Δ = 0.

Раскладывая определитель Δ по последнему столбцу, получаем равенство

A_{1,r + 1}a_1j + A_{2,r + 1}a_2j + ... + A_{r,r + 1}a_rj + A_{r + 1,r + 1}a_2ij — 0,

в котором через A_{1,r + 1}, A_{2,r + 1}, ..., A_{r,r + 1}, A_{r + 1,r + 1} обозначены алгебраические дополнения соответствующих элементов рассматриваемого определителя. Отметим, что эти алгебраические дополнения не зависят от номера j, т.е. не зависят от того, элементы какого из столбцов матрицы A взяты в качестве последнего столбца определителя Δ. Кроме того, A_{r + 1,r + 1} = M ≠ 0. Поэтому из последнего равенства следует, что для всех j = 1,n

a_ij = b₁a_1j + b₂a_2j + ... + b_ra_rj,

где коэффициенты b_k = - A_k,r+1/A_r+1,r+1, k = _1,r, не зависят от j, а это означает, что i-я строка (г + 1 ≤ i ≤ m) матрицы A является линейной комбинацией первых г ее строк, т.е. линейной комбинацией ее базисных строк. ►

Следствие 12.1. Для того чтобы квадратная матрица была невырожденной, необходимо и достаточно, чтобы ее строки (столбцы) были линейно независимы.

◄ Необходимость. Если квадратная матрица A невырождена, то ее ранг равен ее порядку, а ее определитель является базисным минором. Поэтому все строки (столбцы) являются базисными и по теореме 12.5 о базисном миноре они линейно независимы.

Достаточность. Если все строки (столбцы) квадратной матрицы A являются линейно независимыми, то они являются базисными. Действительно, если бы только некоторые из них были базисными, то, согласно теореме 12.5 о базисном миноре, оставшиеся были бы линейными комбинациями базисных и, следовательно, строки (столбцы) матрицы A, согласно теореме 12.4, были бы линейно зависимыми. Так как все строки и столбцы квадратной матрицы A являются базисными, а им соответствует определитель матрицы, то он является базисным минором и, следовательно, согласно определению 12.4, отличен от нуля, т.е. квадратная матрица A невырождена. ►

Теорема 12.6. Линейно независимые строки (столбцы) матрицы, количество которых равно рангу матрицы, являются базисными строками (столбцами).

◄ Докажем теорему для строк. Зафиксируем произвольный набор из r линейно независимых строк матрицы, где r — это ранг матрицы. Нам достаточно показать, что хотя бы один из базисных миноров расположен в фиксированных строках. Отбросим остальные строки матрицы и докажем, что ранг новой матрицы, содержащей r строк, равен r. Так как новая матрица не имеет миноров порядка больше чем r, то ее ранг не может превосходить r. Если бы он был меньше r, то только часть этих r фиксированных строк были бы базисными в новой матрице, а остальные, согласно теореме 12.5 о базисном миноре, являлись бы их линейными комбинациями. Согласно теореме 12.4, последнее означало бы линейную зависимость фиксированных г строк, что противоречит условию теоремы.

Итак, ранг новой матрицы равен r. Ее базисный минор имеет порядок r и является ненулевым минором порядка r исходной матрицы, расположенным в рассмотренных фиксированных r строках. ►

Теорема 12.7 (Теорема о ранге матрицы). Для любой матрицы ее ранг равен максимальному количеству ее линейно независимых строк (столбцов).

◄ Доказательство теоремы проведем для строк. Согласно теореме 12.5 о базисном миноре, базисные строки линейно независимы. Следовательно, максимальное количество k линейно независимых строк матрицы не может быть меньше ранга г матрицы. Итак, k ≥ r.

Остается доказать, что k ≤ r. Отбросим те строки матрицы, которые не входят в число рассматриваемых k линейно независмых строк. Получим матрицу, в которой все k строк линейно независимы. Согласно теореме 12.6, все k строк этой матрицы являются базисными, а ее ранг равен k. Базисный минор матрицы из k строк имеет порядок k и является ненулевым минором порядка k исходной матрицы. Следовательно, k ≤ r. ►

Следствие 12.2. Для любой матрицы максимальное число линейно независимых строк равно максимальному числу линейно независимых столбцов.