Собственные векторы самосопряженного оператора

Теорема 6.4. Собственные векторы самосопряженного оператора, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны.

◄ Рассмотрим самосопряженный оператор А и два его собственных вектора x₁ и х₂, отвечающие различным собственным значениям λ₁ и λ₂. Тогда Ах₁ = λ₁x₁ и Ах₂ = λ₂x₂. Поэтому

(Ах₁,x₂) = (λ₁x₁,x₂) = λ₁(x₁,x₂) (6.6)

Но так как А является самосопряженным оператором, то (Ax₁,x₂) = (x₁,Ax₂) . Значит,

(Ax₁,x₂) = (x₁,Ax₂) = (x₁, λ₂x₂) = λ₂(x₁,x₂) (6.7)

Приравнивая правые части соотношений (6.6) и (6.7), получаем

λ₁(x₁,x₂) = λ₂(x₁,x₂)

или

(λ₁ - λ₂)(x₁,x₂) = 0. (6.8)

Так как λ₁ ≠ λ₂, из равенства (6.8) следует, что (x₁,x₂) = 0, что и означает ортогональность векторов x₁ и x₂. ►

Теорема 6.5. Если собственные значения λ₁, ..., λ_n самосопряженного оператора А, действующего в n-мерном евклидовом пространстве Ε, попарно различны, то в Ε существует ортонормированный базис, в котором матрица этого линейного оператора А имеет диагональный вид, причем диагональными элементами такой матрицы являются собственные значения λ₁, ..., λ_n.

◄ Поскольку собственные значения λ₁, ..., λ_n попарно различны, то, выбрав для каждого λ_i соответствующий ему собственный вектор е_i, получим систему е ненулевых векторов, которые по теореме 6.4 попарно ортогональны. Поэтому е - ортогональная система векторов. Согласно теореме 5.5, она линейно независима и, имея n векторов, является базисом (см. теорему 1.4). Этот базис является ортогональным, а чтобы его превратить в ортонормированный, необходимо каждый вектор е_i нормировать делением на его длину.

Таким образом, в условиях теоремы существует базис из собственных векторов самосопряженного оператора А. По теореме 5.6 матрица линейного оператора в базисе из собственных векторов является диагональной, а диагональные элементы ма-трицы представляют собой собственные значения. ►

Хотя все корни характеристического уравнения самосопряженного оператора действительны (см. теорему 6.3), среди них могут быть кратные, и тогда теорема 6.5 неприменима. Однако и в этом случае матрица самосопряженного оператора в некотором базисе имеет диагональный вид.

Теорема 6.6. Для любого самосопряженного оператора А существует ортонормированный базис, состоящий из соб-ственных векторов этого линейного оператора. Матрица А самосопряженного оператора А в этом базисе имеет диагональный вид, на ее диагонали расположены собственные значения оператора А, повторяющиеся столько раз какова их кратность. #

Доказательство этой теоремы приведено в Д.6.1.

Следствие 6.4. Любая симметрическая матрица М порядка n подобна некоторой диагональной, т.е. существует такая невырожденная матрица Р порядка n, что

P^-1MP = diag(λ₁, ..., λ_n).

Последовательность λ₁, ..., λ_n из n чисел представляет собой перечень всех корней характеристического уравнения матрицы М с учетом их кратностей.

◄ Рассмотрим в n-мерном евклидовом пространстве Rⁿ стандартный ортонормированный базис, и пусть матрица М является матрицей в этом базисе некоторого линейного оператора М. Тогда этот оператор будет самосопряженным. По теореме 6.6 для него существует ортонормированный базис, в котором его матрица М' имеет диагональный вид М' = diag (λ₁, ..., λ_1n). Матрица М' получается из исходной матрицы М при помощи матрицы перехода Р из стандартного базиса в указанный ортонормированный базис: М' = Р^-1МР. ►

Дополнение 6.1. Инвариантные подпространства самосопряженного оператора

Теорема 6.7. Если H - инвариантное подпространство самосопряженного оператора А, действующего в евклидовом пространстве Ε, то его ортогональное дополнение H^⊥ - также является инвариантным подпространством этого оператора А.

◄ Нам достаточно проверить, что для любого вектора у линейного подпространства H^⊥ его образ Ау тоже принадлежит H^⊥, т.е. что для любого вектора х ∈ H выполнено условие (Ау, х) = 0.

Пусть у ∈ H^⊥, х ∈ H. Так как оператор А самосопряженный, выполнено равенство (Ау, х) = (у, Ах). Но H - инвариантное подпространство оператора А, т.е. Ах ∈H для вектора х ∈ H. Поэтому (у, Ах) = 0, так как вектор у ∈ H^⊥ ортогонален любому вектору из H, в частности вектору Ах. Следовательно, (Ау, х) = 0, что и требовалось доказать. ►

Мы видели, что кратность собственного значения и размерность соответствующего собственного подпространства линейного оператора могут не совпадать (см. пример 5.7). Эти две характеристики совпадают, если линейный оператор, действующий в евклидовом пространстве, является самосопряженным.

Теорема 6.8. Пусть λ - собственное значение самосопряженного оператора А, действующего в евклидовом пространстве Ε. Тогда кратность собственного значения λ равна размерности отвечающего этому значению собственного под-пространства £(А,λ) линейного оператора А.

◄ Собственное подпространство £(А, λ) самосопряженного оператора А является инвариантным подпространством этого оператора. Поэтому, согласно теореме 6.7, ортогональное дополнение £(А, λ)^⊥ также является инвариантным подпространством самосопряженного оператора А. Пусть dim£(A, λ) = k, a dim£(A,λ)^⊥ = l. Выберем в линейных подпространствах £(А,λ) и £(А,λ)^⊥ базисы е = (e₁ ... е_k) и g = (g₁ ... g_l) соответственно.

Так как £(А, λ) ⊕ £(А, λ)^⊥ = Ε, система векторов (е g) является базисом евклидова пространства Ε. Рассмотрим в этом базисе матрицу А оператора А. Для любого вектора е_i системы е имеем Ae_i = λе_i, так как е_i принадлежит собственному подпространству £(А, λ) линейного оператора, отвечающему собственному значению λ. Для каждого вектора g_j системы g имеем Ag_j = a_j1g₁ + ... + a_glg_l, так как £(А,λ)^⊥ - инвариантное подпространство оператора А, а g - базис этого подпространства. Эти разложения означают, что матрица А оператора А в базисе (е g) имеет блочный вид:

где Е_k обозначает единичную матрицу порядка k, а блок М представляет собой квадратную матрицу порядка l, состоящую из коэффициентов разложения векторов Ag_j в базисе (е g):

Исходя из блочного представления матрицы А получаем вид ее характеристического уравнения:

ΧA( τ) = det(A - τЕ_n) = (λ - τ)^k det(M - τЕ_l) = (λ - τ)^kΧM(τ), (6.9)

где Е_n и E_l - единичные матрицы порядков n и l.

Отметим, что матрица М представляет собой матрицу в базисе g линейного оператора, являющегося ограничением линейного оператора А на его инвариантное подпространство £(А,λ)^⊥. Оператор А не имеет в подпространстве £(А,λ)^⊥ собственных векторов с собственным значением λ. Поэтому λ не является собственным значением матрицы М, и из представления (6.9) заключаем, что собственное значение λ матрицы А имеет кратность k. ►

Доказательство теоремы 6.6 опирается на свойства инвари-антных подпространств.

◄ Пусть λ₁, ..., λ_k - собственные значения самосопряженного оператора A, a r₁, ..., r_k - их кратности. Так как характеристическое уравнение самосопряженного оператора имеет только действительные корни, сумма кратностей r₁ + ... + r_k собственных значений равна размерности n евклидова пространства Ε. Рассмотрим собственное подпространство H_i оператора А, соответствующее собственному значению λ_i. Размерность этого линейного подпространства, согласно теореме 6.8, совпадает с кратностью r_i собственного значения λ_i. Выберем ортонормированный базис в линейном подпространстве H_i, который будет состоять из r_i, собственных векторов самосопряженного оператора А, попарно ортогональных и имеющих единичную длину. Объединив выбранные базисы в одну систему, получим систему из n собственных векторов единичной длины, любые два из которых ортогональны. Действительно, либо оба вектора одновременно входят в базис некоторого подпространства H_i и будут ортогональны согласно выбору, либо они попадают в разные инвариантные подпространства H_i и H_j и будут ортогональны как собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям (см. теорему 6.4).

Итак, мы выбрали систему из п попарно ортогональных векторов единичной длины. Согласно теореме 3.4, эта система линейно независима, а так как количество векторов в ней совпадает с размерностью пространства, она является ортонормиро- ванным базисом. Согласно теореме 5.6, матрица оператора А в этом базисе является диагональной и на ее диагонали расположены собственные значения, повторяющиеся столько раз, какова их кратность, поскольку построенный базис состоит из соответствующих наборов собственных векторов. ►

Вопросы и задачи

1. Известно, что матрица линейного оператора в некото-ром ортонормированном базисе диагональна. Является ли этот линейный оператор самосопряженным?
2. Известно, что в некотором базисе, не являющемся ортогональным, матрица оператора А симметрическая. Можно ли утверждать, что: а) А - самосопряженный оператор; б) А не является самосопряженным оператором. Что можно утверждать, если базис ортогональный, но не ортонормированный?
3. Линейный оператор, действующий в n-мерном линейном пространстве, имеет в некотором базисе симметрическую матрицу. Докажите, что этот оператор имеет базис го собственных векторов, даже если линейное пространство не является евклидовым.
4. Докажите, что: а) (А + В)* = А* + В*; б) (АВ)* = В*А*; в) если линейный оператор А имеет обратный, то и оператор А* имеет обратный, причем (А^-1)* = (А*)^-1.
5. Рассмотрим в пространстве V₂ линейный оператор R^φ поворота вектора на угол φ, 0 < φ < π. Найдите оператор, сопряженный к оператору R_φ.
6. Пусть Ε - евклидово пространство, е - произвольный, вообще говоря, неортогональный базис в Ε, Г - матрица Грама для системы векторов е. Докажите, что если линейный оператор А в базисе е имеет матрицу А, то сопряженный к нему оператор А* имеет в том же базисе матрицу А* = Г^-1A^TГ.
7. В базисе

b₁ = (1, 1, 1, 1), b₂ = (1, 1, 1,0),

b₃ = (1, 1, 0, 0), b₄ = (1, 0, 0, 0)

линейного арифметического пространства Rⁿ матрица линейного оператора А имеет вид



Найдите матрицу сопряженного оператора А* в том же базисе (b₁ b₂ b₃ b₄). В пространстве Rⁿ предполагается стандартное скалярное произведение.

8. Докажите, что для любого евклидова пространства Ε отображение L(Ε,Ε) → L(Ε,Ε), сопоставляющее линейному оператору из L(Ε,Ε) ему сопряженный, является изоморфизмом линейного пространства L(Ε,Ε). Зависит ли этот изоморфизм от выбора базиса в евклидовом пространстве Ε? Когда этот изоморфизм является тождественным отображением?
9. Для симметрической матрицы


найдите подобную ей диагональную матрицу А' = Р^-1АР и соответствующую матрицу Р.

1. Линейные операции над векторами

2. Базис. Cкалярное произведение

3. Векторное и смешанное произведения векторов

4. Декартова система координат. прямая на плоскости

5. Плоскость в пространстве

6. Прямая в пространстве

7. Кривые второго порядка — I

8. Кривые второго порядка — II

9. Поверхности второго порядка

10. Матрицы и операции с ними

11. Обратная матрица

12. Ранг матрицы

13. Системы линейных алгебраических уравнений

14. Свойства решений однородных и неоднородных СЛАУ