Характеристическое уравнение матрицы

Для произвольной квадратной матрицы А = (a_ij) порядка n рассмотрим определитель

где Е - единичная матрица, а λ - действительное переменное. Относительно переменного λ этот определитель является многочленом степени n и может быть записан в виде

где множители (-l)_k введены для удобства.

Определение 5.1. Многочлен _χA(λ) = det(A - λЕ) называют характеристическим многочленом матрицы А, а уравнение _χA(λ) = 0 - характеристическим уравнением матрицы А.

Пример 5.1. Найдем характеристическое уравнение матрицы

Для этого раскроем определитель:

Итак, характеристическое уравнение заданной матрицы имеет вид -λ³ + 12λ² - 30λ - 35 = 0. #

Квадратную матрицу можно использовать в качестве значе-ния переменного в произвольном многочлене. Тогда значением многочлена от матрицы будет матрица того же порядка, что и исходная [III]. Интерес представляют такие многочлены, значение которых от данной матрицы есть нулевая матрица. Их называют аннулирующими многочленами. Оказывается, что одним из таких аннулирующих многочленов для матрицы является ее характеристический многочлен.

Теорема 5.1 (теорема Кэли - Гамильтона). Для любой квадратной матрицы характеристический многочлен является ее аннулирующим многочленом. #

Выясним, как связаны между собой характеристические многочлены подобных матриц.

Теорема 5.2. Характеристические многочлены (уравнения) подобных матриц совпадают.

◄ Пусть квадратные матрицы A и А' одного порядка подобны, т.е. существует такая невырожденная матрица Р того же порядка, что А' = Р^-1АР. Тогда в силу свойств определителей [III] имеем

_χA'(λ) = det (А' - λЕ) = det(P^-1AP - λР^-1ЕР) = det(P^-1(A - λЕ)Р) = detP^-1 det(A - λE)detP = det(A - λE) = _χA(λ). ►

1. Линейные операции над векторами

2. Базис. Cкалярное произведение

3. Векторное и смешанное произведения векторов

4. Декартова система координат. прямая на плоскости

5. Плоскость в пространстве

6. Прямая в пространстве

7. Кривые второго порядка — I

8. Кривые второго порядка — II

9. Поверхности второго порядка

10. Матрицы и операции с ними

11. Обратная матрица

12. Ранг матрицы

13. Системы линейных алгебраических уравнений

14. Свойства решений однородных и неоднородных СЛАУ