Прямая сумма линейных подпространств

Определение 2.4. Сумму H₁ + Н₂ двух линейных подпространств H₁ и Н₂ данного линейного пространства называют прямой суммой, если для каждого вектора х из H₁ + Н₂ его представление

x = x₁ + x₂, x₁ ∈ H₁, x₂ ∈ H₂,

единственно.

Прямую сумму линейных подпространств H₁ и Н₂ обозначают H₁⊕H₂. Прямая сумма как частный случай суммы линейных подпространств по теореме 2.2 является линейным подпространством.

Пример 2.9. Сумма линейных подпространств H₁ и Н₂ в примере 2.8 является прямой. Действительно, представление произвольного вектора OM в виде OM = OM₁ + OM₂, где OM₁ ∈ H₁, OM₂ ∈ H₂, равносильно представлению этого вектора в виде линейной комбинации векторов OA и OB , так как, согласно определению подпространств H₁ и Н₂, OM₁ = λ₁OA, OM₂ = λ₂OB для некоторых чисел λ₁ и λ₂. Но так как векторы OA и OB линейно независимы, такое представление единственно.

Теорема 2.3 Для того чтобы сумма H₁ + Н₂ линейных подпространств H₁ и Н₂ была прямой, необходимо и достаточно, чтобы пересечение этих линейных подпространств было нулевым подпространством, т.е. Н₁ ∩ Н₂ = {0}.

◄ Необходимость. Пусть сумма H₁ + Н₂ является прямой суммой. Выберем любой вектор у ∈ Н₁ ∩ Н₂. Тогда у ∈ H₁ + Н₂ и для него справедливы два представления

у = у + 0, у = 0 + у, (2.1)

в каждом из которых левое слагаемое является элементом линейного подпространства H₁, а правое - H₂. Так как H₁ + Н₂ является прямой суммой, то оба представления (2.1) совпадают, т.е. у = 0. Значит, Н₁ ∩ Н₂ содержит единственный вектор 0.

Достаточность. Пусть Н₁ ∩ Н₂ = {0}. Рассмотрим произвольный вектор х ∈ Н₁ + Н₂ и докажем, что любые два его представления

х = х₁ + x₂, x₁ ∈ H₁, x₂ ∈ Н₂; (2.2)

х = х'₁ + 'x₂, x'₁ ∈ H₁, x'₂ ∈ Н₂; (2.3)

совпадают.

Вычтем из равенства (2.2) равенство (2.3). В результате получим (х₁ + x₂) - (х'₁ + х'₂) = 0, откуда

х₁ - х'₁ = х'₂ - x₂.

Но тогда, с одной стороны, вектор у = х₁ - х'₁ принадлежит линейному подпространству Н₁, а с другой - он, согласно представлению у = х'₂ - x₂, принадлежит к другому линейному подпространству H₂. Следовательно, у ∈ Н₁ ∩ Н₂, а так как Н₁ ∩ Н₂ = {0}, то и у = 0. Поэтому х₁ - х'₁ = 0 и x₂ - х'₂ = 0, т.е. представления (2.2) и (2.3) совпадают. ►

Пример 2.10. В примере 2.8 линейные подпространства Н₁ и Н₂ образуют прямую сумму (см. пример 2.9). Это можно показать следующим образом. Так как прямые пересекаются в единственной точке, то единственный вектор, коллинеарный одновременно обеим прямым, изображающим подпространства, - это нулевой вектор. Значит, Н₁ ∩ Н₂ = {0}. Согласно теореме 2.3, эти подпространства образуют прямую сумму.

1. Линейные операции над векторами

2. Базис. Cкалярное произведение

3. Векторное и смешанное произведения векторов

4. Декартова система координат. прямая на плоскости

5. Плоскость в пространстве

6. Прямая в пространстве

7. Кривые второго порядка — I

8. Кривые второго порядка — II

9. Поверхности второго порядка

10. Матрицы и операции с ними

11. Обратная матрица

12. Ранг матрицы

13. Системы линейных алгебраических уравнений

14. Свойства решений однородных и неоднородных СЛАУ