Базис линейного пространства

В линейном пространстве наибольший интерес представляют системы векторов, в виде линейной комбинации которых можно представить любой вектор, причем единственным образом. Если зафиксировать такую систему векторов, то любой вектор можно будет однозначно представить набором чисел, являющихся коэффициентами соответствующей линейной комбинации, а всевозможные векторные соотношения превратить в соотношения числовые.

Этот подход применялся уже в аналитической геометрии [III]. В пространстве V₂ векторов на плоскости любые два не- коллинеарных вектора образуют базис, так как через такую пару векторов любой вектор плоскости выражается однозначно в виде линейной комбинации [III]. Аналогично в V₃ (множестве векторов в пространстве) базис образуют любые три некомпланарных вектора. Для матриц использовалось понятие базисных строк и базисных столбцов. По теореме о базисном миноре базисные строки (столбцы) линейно независимы, а любая строка (столбец) матрицы является линейной комбинацией базисных строк (столбцов) [III].

Определение 1.3. Базисом линейного пространства L называют любую упорядоченную систему векторов, для которой выполнены два условия:

1) эта система векторов линейно независима;

2) каждый вектор в линейном пространстве может быть представлен в виде линейной комбинации векторов этой системы.

Пусть b₁, ..., b_n - базис в L. Определение 1.3 говорит о том, что любой вектор х ∈ L может быть записан следующим образом:

х = x₁b₁ + ... + x_nb_n.

Такую запись называют разложением вектора х по базису b₁, ..., b_n.

Данное нами определение базиса согласовывается с понятием базиса в пространстве свободных векторов в V₁, V₂ или V₃ [III]. Например, в V₃ базисом была названа любая тройка некомпланарных векторов. Такая тройка векторов является линейно независимой, так как представление одного ее вектора в виде линейной комбинации двух других равносильна компланарности трех векторов. Но, кроме того, из курса векторной алгебры [III] мы знаем, что любой вектор в пространстве можно выразить через произвольные три некомпланараных вектора в виде их линейной комбинации. Три компланарных вектора не могут быть базисом в V₃, так как любая линейная комбинация таких векторов даст вектор, им компланарный.

Теорема 1.2 (о единственности разложения). В линейном пространстве разложение любого вектора по данному базису единственно.

Выберем в линейном пространстве L произвольный базис b₁, ..., b_n и предположим, что вектор х имеет в этом базисе два разложения

x = x₁b₁ + ... + x_nb_n,

x = x'₁b₁ + ... + x'_nb_n.

Воспользуемся тем, что аксиомы линейного пространства позволяют преобразовывать линейные комбинации так же, как и обычные алгебраические выражения. Вычитая записанные равенства почленно, получим

(x₁ - x'₁)b₁ +... + (х_n - х'_n)b_n = 0.

Так как базис - это линейно независимая система векторов, ее линейная комбинация равна 0, лишь если она тривиальная (см. определение 1.2). Значит, все коэффициенты этой линейной комбинации равны нулю: х₁ - х'₁ = 0,..., х_n - х'_n = 0. Таким образом, х₁ = x'₁, ..., х_n = х'_n и два разложения вектора х в базисе b₁, ..., b_n совпадают. ►

Замечание 1.3. Условие линейной независимости векторов базиса означает, что нулевой вектор имеет в этом базисе единственное разложение, а именно тривиальное: все коэффициенты этого разложения равны нулю. Из доказательства теоремы 1.2 следует, что из единственности разложения нулевого вектора по данной системе векторов вытекает единственность разложения любого другого вектора. #

Согласно определению 1.3, базис является упорядоченной системой векторов. Это значит, что, изменив порядок векторов в системе, мы получим другой базис. Порядок векторов в базисе фиксируют для того, чтобы задать определенный порядок коэффициентов разложения произвольного вектора. Это позволяет заменить линейную комбинацию, представляющую вектор, упорядоченным набором ее коэффициентов и тем самым упростить запись. Порядок векторов в базисе определяется их нумерацией.

Определение 1.4. Коэффициенты разложения вектора по оазису линейного пространства, записанные в соответствии с порядком векторов в базисе, называют координатами вектора в этом базисе.

Пример 1.8. В линейном пространстве К₂[х] многочленов переменного х степени не выше 2 (см. пример 1.1) элементы х и х² линейно независимы: их линейная комбинация ах + рх2 есть многочлен, который равен нулю (нулевому многочлену) лишь при α = β = 0. В то же время пара этих элементов не образует базиса. Действительно, многочлен 1 нулевой степени, являющийся элементом К₂[х], нельзя представить в виде линейной комбинации многочленов х и х² Дело в том, что линейная комбинация αх + βх² многочленов х и х² есть либо многочлен второй степени (при β ≠ 0), либо многочлен первой степени (α ≠ 0, β = 0), либо нулевой многочлен (а = β = 0). Значит, равенство 1 = αх + βх² двух многочленов невозможно ни при каких значениях коэффициентов.

В то же время три многочлена 1, х, х² образуют базис линейного пространства К₂[х]. Докажем это.

Во-первых, система многочленов 1, х, х² линейно независима. Составим их линейную комбинацию с произвольными коэффициентами α, β, γ и приравняем нулю: α • 1 + βх + γх² = 0. Это равенство есть равенство двух многочленов, и оно возможно только в случае, когда коэффициенты этих двух многочленов совпадают. Значит, α = β = γ = 0.

Во-вторых, через многочлены 1, x, х² можно выразить любой многочлен второй степени, т.е. любой элемент линейного пространства К₂[x] можно представить в виде линейной комбинации указанных трех элементов. Возьмем произвольный многочлен

р(х) = α + βx² + γx².

Его запись можно рассматривать как линейную комбинацию многочленов 1,x, х²:

р(х) = α • 1 + βx² + γх²,

причем коэффициенты многочлена в то же время являются коэффициентами линейной комбинации.

Итак, система трех многочленов 1, х, х² линейно независима, а любой элемент линейного пространства К₂[х] является линейной комбинацией указанной системы. Согласно определению 1.3, система многочленов 1, x, х² есть базис в K₂[x]

1. Линейные операции над векторами

2. Базис. Cкалярное произведение

3. Векторное и смешанное произведения векторов

4. Декартова система координат. прямая на плоскости

5. Плоскость в пространстве

6. Прямая в пространстве

7. Кривые второго порядка — I

8. Кривые второго порядка — II

9. Поверхности второго порядка

10. Матрицы и операции с ними

11. Обратная матрица

12. Ранг матрицы

13. Системы линейных алгебраических уравнений

14. Свойства решений однородных и неоднородных СЛАУ