Уравнение поверхности
Решение задачУравнением данной поверхности (в выбранной системе координат) называется такое уравнение с тремя переменными
F (х, у, z) = 0,
которому удовлетворяют координаты каждой точки, лежащей на этой поверхности, и не удовлетворяют координаты никакой точки не лежащей на ней.
885. Даны точки М1 (2; -3; 6), М2(0; 7; 0), М3(3; 2; -4), М4(2√2 ; 4; -5). M5( 1; -4; -5), М6(2; 6; -√5). Уста- новить, какие из них лежат на поверхности, определенной уравнением х2 + у2 + z2 = 49, и какие не лежат на ней? Какая поверхность определена данным уравнением?
886. На поверхности x2 + y2 + z2 = 9 найти точку, для которой: 1) абсцисса равна 1, ордината равна 2; 2) абсцисса равна 2, ордината равна 5; 3) абсцисса равна 2, апликата равна 2; 4) ордината равна 2, апликата равна 4.
887. Установить, какие геометрические образы опре-деляются следующими уравнениями в декартовых прямоугольных координатах пространства:
1) х = 0; 2) y = 0; 3) z = 0; 4) x - 2 = 0;
5) y + 2 = 0; 6) z + 5 = 0; 7) х2 + y2 + z2 = 25;
8) (х - 2)2 + (у + 3)2 + (z - 5)2 = 49;
9) x2 + 2у2 + Зz2 = 0; 10) х2 + 2y2 + 3z2 + 5 = 0;
11) х - у = 0; 12)х + z = 0; 13) y - 2 = 0; 14) хy = 0;
15) хz = 0; 16) y2 = 0; 17) xyz = 0; 18) х2 - 4х = 0;
19) ху - у2 = 0; 20) yz + z2 = 0.
888. Даны две точки F1(- с; 0; 0) и F2(c; 0; 0). Вывести уравнение геометрического места точек, сумма расстояний которых до двух данных точек есть величина постоянная, равная 2а при условии а > 0, с > 0; а > с.
Решение. Обозначим буквой М произвольную точку пространства, буквами х, у, z - ее координаты. Так как точка М может занимать любое положение, то х, у и z являются переменными величинами; их называют текущими координатами.
Точка М лежит на данной поверхности в том и только в том случйе, когда
MF1 + MF2 = 2а. (1)
Это есть определение поверхности, выраженное символически.
Выразим MF1 и MF2 через текущие координаты точки М:
MF1 = √((x + c)2 + y2 + z2) , MF2 = √(x - c)√ + y√ + z√).
Подставим полученные выражения в равенство (1). Тем самым мы найдем уравнение
√((x + c)2 + y2 + z2) = 2a - √((x - c)2 + y2 + z2) (2)
которое связывает текущие координаты х, у, z. Это и есть уравнение данной поверхности.
Действительно, для каждой точки М, лежащей на данной поверхности, выполняется условие (1) и, следовательно, координаты такой точки будут удовлетворять уравнению (2); для каждой точки, не лежащей на поверхности, условие (1) не будет выполняться и, следовательно, ее координаты не будут удовлетворять уравнению (2). Таким образом, задача решена; дальнейшие выкладки имеют целью представить уравнение поверхности в более простом виде
Уединим в уравнении (2) первый радикал:
√((x + c)2 + y2 + z2) = 2a - √((x - c)2 + y2 + z2)
возведем обе части этого равенства в квадрат и раскроем скобки мы получим:c
х2 + 2сx + с2 + y2 + z2 = 4а2 - 4а √((x - c)2 + y2 + z2) + x2 - 2сх + с2 + y2 + z2,
или
а √((х - с)2 + y2 + z2) = а2 - сх,
Снова, освобождаясь от радикала, найдем:
а2х2 - 2а2сх + а2с2 + а2y2 + а2z2 = а4 - 2а2сх + с2х2,
или
(а2 - с2) х2 + а2у2 + а2z2 = а2(a2 - с2). (3)
Так как а > с, то а2 - с2 > 0; положительное Число а3-с3 обозначим через b2. Тогда уравнение (3) примет вид
b2x2 + а2y2 + a2z2 = a2b2
или
x2/a3 + y2/b2 + z2/b2 =1. (4)
Рассматриваемая поверхность называется эллипсоидом вращения. Уравнение (4) называется каноническим уравнением этого эллипсоида.
889. Вывести уравнение сферы, центр которой находится в начале координат и радиус которой равен r.
890. Вывести уравнение сферы, центр которой С (α; β; γ) и радиус которой равен r.
891. Из точки Р(2; 6; -5) проведены всевозможные лучи до пересечения с плоскостью Oxz. Составить уравнение геометрического места их середин.
892. Из точки А (3; -5; 7) проведены всевозможные лучи до пересечения с плоскостью Оху. Составить урав-нение геометрического места их середин.
893. Из точки С(-3; -5; 9) проведены всевозможные лучи до пересечения с плоскостью Оуz. Составить уравнение геометрического места их середин.
894. Вывести уравнение геометрического места точек, разность квадратов расстояний которых до точек F1 (2; 3; -5) и F2(2; -7; -5) есть величина постоянная, равная 13.
895. Вывести уравнение геометрического места точек, сумма квадратов расстояний которых до двух точек F1 (- а; 0; 0) и F2 (а; 0; 0) равна постоянной величине 4а2.
896. Вершины куба суть точки А(-а; -а; -а), В (а; -а; -а), С(-а; а; -а) и D{a; а; а). Составить уравнение геометрического места точек, сумма квадратов расстояний которых до граней этого куба есть величина постоянная, равная 8а2.
897. Вывести уравнение геометрического места точек, равноудаленных от двух точек M1 (1; 2; -3) и М2 (3; 2; 1).
898. Вывести уравнение геометрического места точек, сумма расстояний которых до двух данных точек F1 (0; 0; -4) и F2(0; 0; 4) есть величина постоянная, равная 10.
899. Вывести уравнение геометрического места точек, разность расстояний которых до двух данных точек F1(0; -5; 0) и F2(0; 5; 0) есть величина постоянная, равная 6.