Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении

Решение задач

Расстояние d между двумя точками M1(x1; y1; z1) и М2(х2; y2; z2) в пространстве определяется формулой

d = &radic((x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 + (z2 - z1)2).

Координаты x, у, z точки М, которая делит отрезок M1M2, ограниченный точками М1(х1; у1; z1) и М2(х2; у2; z2), в отношении λ, определяются по формулам:

x = (x1 + λx2)/(1 + λ), y = (y1 + λy2)/(1 + λ), z = (z1 + λz2)/(1 + λ)

В частности, при λ = 1 имеем координаты середины данного отрезка:

x = (x1 + x2)/2, y = (y1 + y2)/2, z = (z1 + z2)/2,

726. Даны точки: A( 1; -2; -3), В (2; -3; 0), С(3; 1; -9), D(-1; 1; 12). Вычислить расстояние между I) А и С; 2) В и D; 3) С и D.

727. Вычислить расстояния от начала координат О до точек: A(4; -2; -4), B(-4; 12; 6), С(12; -4; 3), 5(12; 16; -15).

728. Доказать, что треугольник с вершинами A(3; -1; 2), B(0; -4; 2) и С(- 3; 2; 1) равнобедренный.

729. Доказать, что треугольник с вершинами A1(3; -1; 6), A2(- 1, 7; -2) и A3(1; -3; 2) прямоугольный. v

730. Определить, есть ли тупой угол среди внутренних углов треугольника M1(4; -1; 4), М2(0; 7; -4), M3(3; 1; -2).

731. Доказать, что внутренние углы треугольника М(3; -2; 5), N(-2; 1; -3), Р(5; 1; - 1) острые.

732. На оси абсцисс найти точку, расстояние которой от точки А (-3; 4; 8) равно 12.

733. На оси ординат найти точку, равноудаленную от точек A(1; -3; 7) и В{5; 7; -5).

734. Найти центр С и радиус R шаровой поверхности, которая проходит через точку Р(4; -1; -1) и касается всех трех координатных плоскостей.

735. Даны вершины M1(3; 2; -5), М2(1; -4; 3) и М3(-3; 0; 1) треугольника. Найти середины его сторон.

736. Даны вершины A(2; -1; 4), B(3; 2; -6), С(-5; 0; 2) треугольника. Вычислить длину его медианы, проведенной из вершины A.

737. Центр тяжести однородного стержня находится в точке С (1; - 1; 5), один из его концов есть точка A (-2; -1; 7). Определить координаты другого конца стержня.

738. Даны две вершины A (2; -3; -5), В( - 1; 3; 2) параллелограмма ABCD и точка пересечения его диагоналей Е(4; -1; 7). Определить две другие вершины этого параллелограмма.

739. Даны три вершины A(3; -4} 7), В (-5; 3; -2) и С(1; 2; -3) параллелограмма ABCD. Найти его четвертую вершину D, противоположную В.

740. Даны три вершины A(3; -1; 2), B(1; 2; -4) и С(-1; 1; 2) параллелограмма ABCD. Найти его четвертую вершину D.

741. Отрезок прямой, ограниченный точками A(-1; 8; 3) и B(9; -7; -2), разделен точками С, D, E, F на пять равных частей. Найти координаты этих точек.

742. Определить координаты концов отрезка, который точками С(2; 0; 2) и D(5; -2; 0) разделен на три равные части.

743. Даны вершины треугольника A(1; 2; - 1), B(2; -1; 3) и С (-4; 7; 5). Вычислить длину биссектрисы его внутреннего угла при вершине B.

744. Даны вершины треугольника A(1; -1; - 3), 5(2; 1; -2) и С(-5; 2; -6). Вычислить длину биссектрисы его внутреннего угла при вершине А.

745. В вершинах тетраэдра A(x1; у1 z1), B(x2; у2; z2), С(x3; у3; z3), D(x4; у4; z4) сосредоточены равные массы. Найти координаты центра тяжести системы этих масс.

746. В вершинах тетраэдра A1(x1; у1; z1), A2 (х2; у2; z2), A3(x3; y3; z3), A4(x4; y4; z4) сосредоточены массы m1, m2, m3 и m4. Найти координаты центра тяжести системы этих масс.

747. Прямая проходит через две точки М1(-1; 6; 6) и М2(3; -6; -2). Найти точки ее. пересечения с координатными плоскостями,