Приведение к простейшему виду параболического уравнения

Пусть уравнение

Ах² + 2Вху + Су² + 2Dx + 2Еу + F = 0 (1)

является параболическим, т. е. удовлетворяет условию

δ = АС - В² = 0.

В этом случае линия, определяемая уравнением (1), либо не имеет центра, либо имеет бесконечно много центров. Упрощение параболического уравнения целесообразно начать с поворота координатных осей, т. е. сначала преобразовать уравнение (1) при помощи формул

Угол α следует найти из уравнения

В tg²α - (С - A) tgα - В = 0; (3)

тогда в новых координатах уравнение (1) приводится либо к виду

А'х'² + 2D'x' + 2E'y' + F = 0, (4)

где А' ≠ 0, либо к виду

C'y'² + 2D'x' + 2E'y' + F = 0, (5)

где C' ≠ 0

Дальнейшее упрощение уравнений (4) и (5) достигается путем параллельного перенесения (повернутых) осей.

689. Установить, что каждое из следующих уравнений является параболическим; каждое из них привести к простейшему виду; установить, какие геометрические образы они определяют; для каждого случая изобразить на чертеже оси первоначальной координатной системы, оси других координатных систем, которые вводятся по ходу решения, и геометрический образ, определяемый данным уравнением:

1) 9x² - 24ху + 16y² - 20x+ 110y - 50 == 0;

2) 9х² + 12ху + 4y² - 24х - 16y + 3 = 0;

3) 16x² - 24ху + 9у² - 160x + 120у + 425 = 0.

690. То же задание, что и в предыдущей задаче, выполнить для уравнений:

1) 9х² + 24xy + 16y² - 18x + 226y + 209 = 0;

2) x² - 2xy + y² - 12х + 12y - 14 = 0;

3) 4х² + 12xy + 9y² - 4x - 6y + 1 = 0.

691. Для любого параболического уравнения доказать, что коэффициенты A и С не могут быть числами разных знаков и что они одновременно не могут обращаться в нуль.

692. Доказать, что любое параболическое уравнение может быть написано в виде:

(αх+ βy)² + 2Dx + 2Еу + F = 0.

Доказать также, что эллиптические и гиперболические уравнения в таком виде не могут быть написаны.

693. Установить, что следующие уравнения являются параболическими, и записать каждое из них в виде, ука-занном в задаче 692:

1) х² + 4xy +4y² + 4х + y - 15 = 0;

2) 9х² - 6xy + y² - х + 2y - 14 = 0;

3) 25х² - 20xy + 4y² + Зх - у + 11 = 0;

4) 16x² + 16xy + 4y² - 5x + 7y = 0;

5) 9х² - 42xy + 49y² + 3х - 2y - 24 = 0.

694. Доказать, что если уравнение второй степени является параболическим и написано в виде

(αх+ βy)² + 2Dx + 2Еу + F = 0.

то дискриминант его левой части определяется формулой

Δ = - (Dβ - Еα)².

695. Доказать, что параболическое уравнение

(αх+ βy)² + 2Dx + 2Еу + F = 0.

при помощи преобразования

x = x'cosΘ - y'sinΘ,

y = x'sinΘ + y'cosΘ,

tgΘ = -α/β

приводится к виду

C'у'² + 2D'x' + 2E'у' + F' = 0,

где

C' = α² + β², D' = ± √(-δ/ (α² + β²))

а Δ - дискриминант левой части данного уравнения.

696. Доказать, что параболическое уравнение определяет параболу в том и только в том случае, когда Δ ≠ 0. Доказать, что в этом случае параметр параболы определяется формулой

p = √(-δ/ (A² + C²))

697. Не проводя преобразования координат, установить, что каждое из следующих уравнений определяет параболу, и найти параметр этой параболы:

1) 9x² + 24ху + 16y² - 120x + 90у = 0;

2) 9x² - 24xy + 16y² - 54x - 178y + 181 = 0;

3) x² - 2xy + y² + 6x - 14y + 29 = 0;

4) 9x² - 6xy + y² - 50x + 50y - 275 = 0.

698. Доказать, что уравнение второй степени является уравнением вырожденной линии в том и только в том случае, когда Δ = 0.

699. Не проводя преобразования координат, устано-вить, что каждое из следующих уравнений определяет пару параллельных прямых, и найти их уравнения;

1) 4x² + 4xy + y² - 12x - 6y + 5 = 0;

2) 4x² - 12xy + 9y² + 20x - 30y - 11 = 0;

3) 25x² - 10xy + y² + 10x - 2y - 15 = 0.

700. Не проводя преобразования координат, устано-вить, что каждое из следующих уравнений определяет одну прямую (пару слившихся прямых), и найти уравнение этой прямой:

1) х² - 6xy + 9y² + 4x - 12y + 4 = 0;

2) 9x² + 30xy + 25y² + 42x + 70y + 49 = 0;

3) 16x² - 16xy + 4y² - 72x + 36y + 81 = 0.