Гипербола

Теория

Определение 7.2. Геометрическое место точек плоскости, для которых разность расстояний до двух фиксированных точек есть величина постоянная, называют гиперболой.

Замечание 7.2. Говоря о разности расстояний, подразумевают, что из большего расстояния вычитается меньшее. Это значит, что на самом деле для гиперболы постоянным является модуль разности расстояний от любой ее точки до двух фиксированных точек. #

Определение гиперболы аналогично определению эллипса. Различие между ними лишь в том, что для гиперболы постоянна разность расстояний до фиксированных точек, а для эллипса — сумма тех же расстояний. Поэтому естественно, что у этих кривых много общего как в свойствах, так и в используемой терминологии.

Фиксированные точки в определении гиперболы (обозначим их F1 и F2) называют фокусами гиперболы. Расстояние между ними (обозначим его 2с) называют фокальным расстоянием, а отрезки F1M и F2M, соединяющие произвольную точку M на гиперболе с ее фокусами, — фокальными радиусами.

Вид гиперболы полностью определяется фокальным расстоянием |F1F2| = 2с и значением постоянной величины 2а, равной разности фокальных радиусов, а ее положение на плоскости — положением фокусов F1 и F2.

Из определения гиперболы следует, что она, как и эллипс, симметрична относительно прямой, проходящей через фокусы, а также относительно прямой, которая делит отрезок F1F2 пополам и перпендикулярна ему (рис. 7.7). Первую из этих осей симметрии называют действительной осью гиперболы, а вторую — ее мнимой осью. Постоянную величину а, участвующую в определении гиперболы, называют действительной полуосью гиперболы.

Рис 7.7.Гипербола

Середина отрезка F1F2, соединяющего фокусы гиперболы, лежит на пересечении ее осей симметрии и поэтому является центром симметрии гиперболы, который называют просто центром гиперболы.

Для гиперболы действительная ось 2а должна быть не больше, чем фокальное расстояние 2с, так как для треугольника F1MF2 (см. рис. 7.7) справедливо неравенство ||F1M| — |F2M| | ≤ |F1F2|. Равенство а = с выполнено только для тех точек M, которые лежат на действительной оси симметрии гиперболы вне интервала F1F2. Отбрасывая этот вырожденный случай, далее будем предполагать, что а < с. Отметим также, что случай а = 0 соответствует геометрическому месту точек, равноудаленных от фиксированных точек F1 и F2. Как известно из курса школьной геометрии, это геометрическое место представляет собой прямую, перпендикулярную отрезку F1F2 и проходящую через его середину. Этот случай мы также не будем рассматривать.

Уравнение гиперболы. Рассмотрим на плоскости некоторую гиперболу с фокусами в точках F1 и F2 и действительной осью 2а. Пусть 2с — фокальное расстояние, 2c = |F1F2| > 2а. Согласно замечанию 7.2, гипербола состоит из тех точек M(х; у), для которых | |F1M| — — |F2M| | = 2а. Выберем прямоугольную систему координат Oxy так, чтобы центр гиперболы находился в начале координат, а фокусы располагались на оси абсцисс (рис. 7.8). Такую систему координат для рассматриваемой гиперболы называют канонической, а соответствующие переменные — каноническими.

Рис 7.8.Гипербола

В канонической системе координат фокусы гиперболы имеют координаты F1(c; 0) и F2(—с; 0). Используя формулу расстояния между двумя точками, запишем условие ||F1M| — |F2M|| = 2а в координатах |√((х — с)2 + у2) — √((х + с)2 + у2)| = 2а, где (x; у) — координаты точки M. Чтобы упростить это уравнение, избавимся от знака модуля: √((х — с)2 + у2) — √((х + с)2 + у2) = ±2а, перенесем второй радикал в правую часть и возведем в квадрат: (х — с)2 + у2 = (х + с)2 + у2 ± 4а √((х + с)2 + у2) + 4а2. После упрощения получим —εх — а = ±√((х + с)2 + у2), или

√((х + с)2 + у2) = |εх + а| (7.7)

где ε = с/а. Возведем в квадрат вторично и снова приведем подобные члены: (ε2 — 1)х2 — у2 = с2 - а2, или, учитывая равенство ε = с/а и полагая b2 = c2 - a2,

x2/a2 - y2/b2 = 1 (7.8)

Величину b > 0 называют мнимой полуосью гиперболы.

Итак, мы установили, что любая точка на гиперболе с фокусами F1(с;0) и F2(—с; 0) и действительной полуосью а удовлетворяет уравнению (7.8). Но надо также показать, что координаты точек вне гиперболы этому уравнению не удовлетворяют. Для этого мы рассмотрим семейство всех гипербол с данными фокусами F1 и F2. У этого семейства гипербол оси симметрии являются общими. Из геометрических соображений ясно, что каждая точка плоскости (кроме точек, лежащих на действительной оси симметрии вне интервала F1F2, и точек, лежащих на мнимой оси симметрии) принадлежит некоторой гиперболе семейства, причем только одной, так как разность расстояний от точки до фокусов F1 и F2 меняется от гиперболы к гиперболе. Пусть координаты точки M(х; у) удовлетворяют уравнению (7.8), а сама точка принадлежит гиперболе семейства с некоторым значением ã действительной полуоси. Тогда, как мы доказали, ее координаты удовлетворяют уравнению Система
двух уравнений с двумя неизвестными Следовательно, система двух уравнений с двумя неизвестными

Система
двух уравнений с двумя неизвестными

имеет хотя бы одно решение. Непосредственной проверкой убеждаемся, что при ã ≠ а это невозможно. Действительно, исключив, например, x из первого уравнения:

Система
двух уравнений с двумя неизвестными

после преобразований получаем уравнение

Система
двух уравнений с двумя неизвестными

которое при ã ≠ а не имеет решений, так как Система
двух уравнений с двумя неизвестными. Итак, (7.8) есть уравнение гиперболы с действительной полуосью а > 0 и мнимой полуосью b = √(с2 — а2) > 0. Его называют каноническим уравнением гиперболы.

Вид гиперболы. По своему виду гипербола (7.8) заметно отличается от эллипса. Учитывая наличие двух осей симметрии у гиперболы, достаточно построить ту ее часть, которая находится в первой четверти канонической системы координат. В первой четверти, т.е. при x ≥ 0, у ≥ 0, каноническое уравнение гиперболы однозначно разрешается относительно у:

у = b/a √(x2 — а2). (7.9)

Исследование этой функции y(x) дает следующие результаты.

Область определения функции — {x: x ≥ а} ив этой области определения она непрерывна как сложная функция, причем в точке x = а она непрерывна справа. Единственным нулем функции является точка x = а.

Найдем производную функции y(x): y'(x) = bx/a√(x2 — а2). Отсюда заключаем, что при x > а функция монотонно возрастает. Кроме того, Формула возрастание функции, а это означает, что в точке x = a пересечения графика функции с осью абсцисс существует вертикальная касательная. Функция y(x) имеет вторую производную y" = —ab(x2 — а2)-3/2 при x > а, и эта производная отрицательна. Поэтому график функции является выпуклым вверх, а точек перегиба нет.

Указанная функция имеет наклонную асимптоту, это вытекает из существования двух пределов:

Указанная функция имеет наклонную асимптоту

Наклонная асимптота описывается уравнением y = (b/a)x.

Проведенное исследование функции (7.9) позволяет построить ее график (рис. 7.9), который совпадает с частью гиперболы (7.8), содержащейся в первой четверти.

Рис 7.9.	Гипербола

Так как гипербола симметрична относительно своих осей, вся кривая имеет вид, изображенный на рис. 7.10. Гипербола состоит из двух симметричных ветвей, расположенных по разные

Рис 7.10.	Гипербола

стороны от ее мнимой оси симметрии. Эти ветви не ограничены с обеих сторон, причем прямые у = ±(b/a)x являются одновременно асимптотами и правой и левой ветвей гиперболы.

Оси симметрии гиперболы различаются тем, что действительная пересекает гиперболу, а мнимая, будучи геометрическим местом точек, равноудаленных от фокусов, — не пересекает (поэтому ее и называют мнимой). Две точки пересечения действительной оси симметрии с гиперболой называют вершинами гиперболы (точки A(a; 0) и B(—a; 0) на рис. 7.10).

Построение гиперболы по ее действительной (2a) и мнимой (2b) осям следует начинать с прямоугольника с центром в начале координат и сторонами 2a и 2b, параллельными, соответ-ственно, действительной и мнимой осям симметрии гиперболы (рис. 7.11). Асимптоты гиперболы являются продолжениями диагоналей этого прямоугольника, а вершины гиперболы — точками пересечения сторон прямоугольника с действительной осью симметрии. Отметим, что прямоугольник и его положение на плоскости однозначно определяют форму и положение гиперболы. Отношение b/a сторон прямоугольника определяет степень сжатости гиперболы, но вместо этого параметра обычно используют эксцентриситет гиперболы. Эксцентриситетом гиперболы называют отношение ее фокального расстояния к действительной оси. Эксцентриситет обозначают через ε. Для гиперболы, описываемой уравнением (7.8), ε = c/a. Отметим, что если эксцентриситет эллипса может принимать значения из полуинтервала [0,1) (значение 0 соответствует предельному варианту эллипса — окружности), то эксцентриситет гиперболы всегда попадает в интервал (1, + ∞).

Рис 7.11.Гипербола

Построим прямоугольник с центром в начале системы координат Oxy и сторонами 2a, 2b, параллельными осям абсцисс и ординат соответственно. Проведем прямые y = (b/a)x и y = — (b/a)x, на которых лежат диагонали прямоугольника. Существует две гиперболы, соответствующие построенному прямоугольнику (рис. 7.12). Первая из них описывается каноническим уравнением (7.8), а вторая — уравнением

x2/a2 - y2/b2 = -1. (7.10)

Вторую гиперболу называют сопряженной по отношению к первой, а уравнение (7.10) — каноническим уравнением сопряженной гиперболы. Действительная и мнимая оси первой гиперболы являются соответственно мнимой и действительной осями сопряженной гиперболы, а асимптоты у них общие.

Рис 7.12.	Гипербола

Пример 7.2. Найдем каноническое уравнение гиперболы по ее действительной полуоси a = 4 и фокальному расстоянию 2с = 10. Построим гиперболу и определим координаты ее вершин, фокусов и уравнения асимптот.

Так как действительная полуось a гиперболы известна, то, чтобы найти каноническое уравнение гиперболы, достаточно определить мнимую полуось b. Поскольку с = 5, b = √(с2 — а2), то b = √(52 — 42) = 3. Итак, искомое уравнение имеет вид x2/42 - y2/32 = 1. Построим прямоугольник,соответствующий заданной гиперболе (рис. 7.13). Продолжим его диагонали до асимптот ги-перболы и построим саму гиперболу. Уравнениями асимптот являются у = ±3x/4, вершины находятся в точках (±4; 0), а фокусы совпадают с точками (±5; 0).

Рис 7.13.Гипербола

Геометрические свойства. Геометрические свойства гиперболы во многом повторяют свойства эллипса. Вернемся к формуле (7.7). Она эквивалентна каноническому уравнению гиперболы и дает выражение для длины фокального радиуса F2M ее точки M(х; у):

|F2M| = √((х + с)2 + у2) = ±(εх + a) (7.11)

где знак плюс соответствует правой ветви гиперболы, а знак минус — левой.

Аналогично можно получить формулу для длины другого фокального радиуса, если при выводе канонического уравнения гиперболы перед первым возведением в квадрат в правую часть равенства перенести не второй, а первый квадратный радикал. При этом вместо (7.7) получим εх — a = ±√((х - с)2 + у2) , откуда

|F1M| = √((х - с)2 + у2) = ±(εх - a) (7.12)

где, как и в (7.11), знак плюс соответствует правой ветви гиперболы, а знак минус — левой. Каждое из уравнений (7.11), (7.12) является уравнением гиперболы.

Гипербола не проходит через свои фокусы (при 0 < a < c). Поэтому фокальные радиусы любой ее точки M имеют ненулевую длину, т.е. |F1M| ≠ 0 и |F2M| ≠ 0. Но тогда в (7.11) и (7.12) правые части тоже отличны от нуля, и эти уравнения гиперболы можно переписать в следующем виде:

Уравнения гиперболы

Рассмотрим прямую d': x = —a/ε (рис. 7.14). Выражение |x + a/ε| представляет собой расстояние от точки M(x; у) до прямой d'. Аналогично выражение ±(x — a/ε) равно расстоянию |x — a/ε| от точки M гиперболы до прямой d: x = a/ε. Поэтому из уравнений (7.13) следует, что гипербола состоит из таких точек, для которых отношение расстояния до фокуса F2 (фокуса F1) к расстоянию до прямой d' (прямой d) есть величина постоянная, равная ее эксцентриситету ε. Эти две прямые d и d' называют директрисами гиперболы.

Рис 7.14.Гипербола

Геометрически директрисы определяются как прямые, перпендикулярные действительной оси симметрии гиперболы и удаленные от ее центра на расстояние, равное отношению действительной полуоси к эксцентриситету.

Расстояние p от директрисы гиперболы до ближайшего к директрисе фокуса, как и у эллипса, называют фокальным параметром гиперболы. Отметим, что

p = c = a/ε = c - a2/c = (c2 - a2)/c = b2/c

Гипербола также имеет и оптическое свойство, аналогичное оптическому свойству эллипса. Оно состоит в том, что лучи, вышедшие из одного фокуса, после отражения от ближайшей ветви гиперболы распространяются так, будто вышли из другого фокуса (рис. 7.15).

Рис 7.15.Гипербола