Векторное произведение

Векторное произведение вводится для двух векторов из V₃. Оно опирается на следующее понятие.

Определение 3.1. Упорядоченную тройку некомпланарных векторов a, b, с называют правой, если направление вектора а совмещается с направлением вектора b при помощи кратчайшего поворота вектора а в плоскости этих векторов, который со стороны вектора с совершается против хода часовой стрелки (рис. 3.1). В противном случае (поворот по ходу часовой стрелки) эту тройку называют левой.

Так как упорядоченная тройка некомпланарных векторов образует базис в V₃, то также говорят о правых и левых базисах. Каждый базис является либо правым, либо левым, т.е. все базисы в V₃ разделяются на два класса: класс правых базисов и класс левых базисов. Класс, к которому относится фиксированный базис, называют его ориентацией.

Определение 3.2. Векторным произведением неколлинеарных векторов а и b называют такой вектор с, который удовлетворяет следующим трем условиям:

1) вектор с ортогонален векторам а и b;

2) длина вектора с равна |с| = |а||b|sinφ, где φ — угол между векторами а и b;

3) упорядоченная тройка векторов a, b, с является правой (рис. 3.2).

Если векторы а и b коллинеарны, то |а||b|sinφ = 0. Поэтому дополним определение 3.2, полагая, в соответствии с условием 2, что векторное произведение двух коллинеарных векторов есть нуль-вектор.

Векторное произведение векторов а и b далее будем обозначать a × b, хотя в литературе встречается и обозначение [a, b].

Векторное произведение используют, например, в механике. Так, момент силы F, приложенной к точке M, относительно некоторой точки O равен OM×F (рис. 3.3). Рассмотрим свойства векторного произведения.

1°. Для того чтобы два вектора были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их векторное произведение равнялось нуль-вектору.

◄ Необходимость. Если векторы коллинеарны, то их векторное произведение равно нуль-вектору согласно определению. Докажем достаточность. Если a×b = 0, то |a×b| = 0, т.е. |а||b|sinφ = 0, где φ — угол между векторами а и b. Но тогда выполнено, по крайней мере, одно из трех равенств: |а| = 0, |b| = 0 или sinφ = 0. Каждое из этих равенств влечет коллинеарность векторов а и b. ►

Следующее свойство выражает геометрический смысл модуля векторного произведения.

2°. Если векторы а и b неколлинеарны, то модуль |a×b| их векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах как на смежных сторонах (рис. 3.4).

◄ Свойство объясняется тем, что модуль векторного произведения и площадь параллелограмма по двум смежным сторонам и углу между ними вычисляют по одной и той же формуле как произведение длин векторов (сторон параллелограмма) на синус угла между ними. ►

3°. Важнейшими свойствами векторного произведения являются следующие три:

- свойство антикоммутативности a×b = -b×а;

- свойство ассоциативности совместно с умножением на число (λa)×b = λ(a×b);

- свойство дистрибутивности относительно сложения (а + b) × c = a×c + b×c.

◄ Доказывая свойство антикоммутативности, заметим, что если векторы а и b коллинеарны, то в обеих частях равенства a×b = -b×a в соответствии со свойством 1° стоит нулевой вектор. Если же векторы а и b неколлинеарны, то существует плоскость, которой они параллельны. В силу первого условия определения 3.2 векторного произведения векторы a×b и b×a перпендикулярны этой плоскости и, следовательно, коллинеарны. Ясно, что и длины векторов axb и bxa равны, поскольку совпадают с площадью одного и того же параллелограмма (свойство 2°). Остается доказать, что векторы axb и bxa имеют противоположное направление. Это следует из того, что если тройка векторов a, b, a×b правая, то тройка b, a, a×b — левая. Поэтому, заменив в последней тройке третий вектор на противоположный, получим правую тройку векторов b, a, -a×b, причем вектор -a×b коллинеарен вектору b×a и имеет ту же длину. Согласно определению 3.2, это означает, что вектор -a×b равен векторному произведению векторов b и a, т.е. a×b = -b×a.

Свойство ассоциативности доказывается аналогично. В случае коллинеарных векторов а и b, а также при λ = 0 векторы (λa)×b и λA(a×b) равны нуль-вектору, поскольку каждый из них является или векторным произведением коллинеарных векторов, или произведением вектора на число, равное нулю. Следовательно, в рассматриваемых случаях равенство (λa)×b = λA(a×b) выполнено.

Предположим теперь, что векторы а и b неколлинеарны, а λ ≠ 0. Покажем сначала, что в левой и правой частях доказываемого равенства стоят коллинеарные векторы, равные по длине. Действительно, если считать, что векторы a, b и λa имеют общее начало, то пары a, b и λa, b неколлинеарных векторов порождают одну и ту же плоскость, которой перпендикулярны их векторные произведения a×b и (λa)times;b. Поэтому векторы λ(a×b) и (λa)×b коллинеарны. Вычисляя их длины, убеждаемся, что эти длины равны, так как

|λ(a×b)| = |λ||a×b| = |λ||a||b|sinφ,

где φ — угол между векторами а и b, а

|(λa)xb| = |λa||b|sinψ = |λ||a||b|sinψ =|λ||a||b|sinφ,

где ψ — угол между векторами λa и b и использовано равенство sinψ = sinφ, выполненное при всех λ ≠ 0.

Два коллинеарных вектора, равные по длине, либо совпадают, либо являются противоположными друг другу. Нам достаточно исключить последнюю возможность, доказав, что векторы (λa)×b и λ(a×b) являются однонаправленными.

Если λ > 0, то векторы а и λa однонаправлены. Следовательно, векторы (λa)×b и a×b тоже являются однонаправленными. А поскольку векторы a×b, λ(a×b) тоже однонаправлены, то однонаправлены и векторы (λa)×b и λ(a×b).

Если λ < 0, то векторы а и λa являются противоположно направленными. Следовательно, векторы (λa)×b и a×b тоже являются противоположно направленными. Умножение вектора a×b на отрицательное число λ меняет его направление на противоположное. Поэтому векторы (λa)×b и λ(a×b) имеют одинаковое направление.

Доказательство свойства дистрибутивности будет дано позже (см. 3.2).

Замечание 3.1. Доказанные свойства ассоциативности и дистрибутивности векторного произведения объединяют, аналогично случаю скалярного произведения, в свойство линейности векторного произведения относительно первого сомножителя. В силу свойства антикоммутативности векторного произведения векторное произведение линейно и относительно второго сомножителя:

a×(λb) = -(λb)×a = -λ(b×a) = λ(a× b),

a×(b + с) = -(b + c)×a = -(b×a + c×a) = a×b + a×с.

Пример 3.1. Найдем площадь S треугольника, построенного на векторах a = 3с - 2d и b = с + d при условии, что |с| = 1, |d| = 4, а угол φ между векторами с и d равен 30°.

Для решения задачи воспользуемся формулой

S = 0,5 |a×b|.

Используя алгебраические свойства векторного произведения, находим, что

a×b = (3с - 2d)×(c + d) = 3c×c + 3c×d - 2d×c - 2d×d = 3c×d + 2c×d = 5c×d.

Поэтому

S = 0,5 |a×b| = 0,5|5c×d| = 2,5|c||d|sinφ = 5. #

Алгебраические свойства позволяют вычислить векторное произведение через координаты векторов и векторные произведения векторов, образующих базис. Наиболее просто соответ-ствующие формулы выглядят в ортонормированном базисе.

Рассмотрим правый ортонормированный базис i, j, k. Векторные произведения всевозможных пар векторов базиса (всего 9 пар) выглядят следующим образом:

i×j = k, j×i = -k , (3.1)

j×k = i, k×j = -i ,

k×i = j, i×k = -j ,

Векторные произведения базисных векторов на себя не приведены, так как все они равны нуль-вектору.

Таблицу произведений (3.1) удобно трактовать как правило циклической перестановки: произведение двух базисных векторов равно третьему, причем знак плюс выбирается, если тройка векторов (первый сомножитель, второй сомножитель, произведение) получается из исходного базиса i, j, k циклической перестановкой. На рис. 3.5 этот порядок соответствует движению против хода часовой стрелки. При движении на рис. 3.5 от первого сомножителя ко второму по ходу часовой стрелки в правых частях соответствующих равенств (3.1) появляется знак минус.

Рассмотрим два вектора а и b, заданных своими координатами в правом ортонормированном базисе i, j, k: а = {x_a; y_a; z_a}, b = {x_b; y_b; z_b}. Тогда имеют место разложения этих векторов

а = x_ai + y_aj + z_ak, b = x_bi + y_bj + z_bk.

Исходя из этих представлений и алгебраических свойств векторного умножения, получаем

Чтобы упростить полученную формулу, заметим, что она похожа на формулу разложения определителя третьего порядка по 1-й строке, только вместо числовых коэффициентов стоят векторы. Поэтому можно записать эту формулу как определитель, который вычисляется по обычным правилам. Две строки этого определителя будут состоять из чисел, а одна — из векторов. При вычислении определителя, умножение векторов на числа и сложение векторов выполняются по обычным правилам, введенным для этих линейных операций в гл. 1. Итак, формулу вычисления векторного произведения в правом ортонормированном базисе i, j, k можно записать в виде

Пример 3.2. Найдем все векторы, ортогональные векторам

n₁ = {3; 1; —2} и n₂ = {1; — 1; 1}.

Отметим, что векторы n₁ и n₂ неколлинеарны, так как их координаты непропорциональны, например:

3/1 ≠ 1/-1

Совместим начала этих векторов в некоторой точке. Тогда существует единственная плоскость, содержащая эти векторы. Искомое множество векторов, ортогональных данным, совпадает с множеством векторов, перпендикулярных указанной плоскости, а это множество совпадает с множеством векторов, коллинеарных векторному произведению

Ответ: λ(—i — 5j — 4k), где λ ∈ R.