Типы векторов и их взаимное расположение

Определение 1.2. Два геометрических вектора называют коллинеарными, если они лежат на одной прямой¹ или на параллельных прямых.

Про пару коллинеарных геометрических векторов иногда говорят, что один из них коллинеарен другому.

Все пары коллинеарных геометрических векторов можно разделить на две группы:

- однонаправленные (или сонаправленные) коллинеарные геометрические векторы, имеющие совпадающие направления;

- противоположно направленные коллинеарные геометрические векторы, имеющие противоположные направления.

По определению считаем, что нуль-вектор коллинеарен любому другому. Определение 1.2 распространяется очевидным образом на любое число геометрических векторов.

Определение 1.3. Три геометрических вектора называют компланарными, если эти векторы лежат на прямых, параллельных некоторой плоскости.

Это определение теряет смысл, если его сформулировать для двух геометрических векторов, потому что любые два геометрических вектора лежат на прямых, параллельных некоторой плоскости. Однако можно говорить о четырех компланарных геометрических векторах или об их большем числе.

Определение 1.4. Два геометрических вектора называют равными, если:

- они коллинеарны и однонаправлены;

- их длины совпадают.

В соответствии с определением 1.4 равные геометрические векторы могут иметь различные точки приложения, но задают одно и то же направление и имеют одинаковые длины. В этом случае, т. е. когда заданы направление и длина, но не фиксируется точка приложения, говорят, что задан свободный вектор. Термин подчеркивает, что точка приложения геометрического вектора может меняться произвольно. В дальнейшем для удобства свободные векторы мы будем называть просто векторами. Векторы обозначают одной строчной буквой с дополнительной чертой или стрелкой вверху: a или a. Распространенным является также обозначение вектора полужирным шрифтом а, которое в дальнейшем мы и будем использовать.

Разный характер действия векторов в прикладных задачах приводит к необходимости рассматривать другие типы векторов. Например, вектор угловой скорости и вектор силы, действующей на абсолютно твердое тело, можно перемещать только вдоль прямых, на которых они находятся. Такие векторы называют скользящими векторами. Наконец, геометрические векторы, точка приложения которых не может изменяться, называют еще связанными векторами. К ним относятся, например, скорости в потоке жидкости или газа.

¹Говоря, что геометрический вектор лежит на прямой, мы подразумеваем очевидную ситуацию, когда начало и конец вектора лежат на этой прямой.

Пример 1.1. В зависимости от учета тех или иных конкретных условий одну и ту же векторную величину иногда удобно рассматривать как свободный, скользящий или связанный вектор. Например, вектор ускорения земного притяжения является связанным вектором, поскольку его модуль и направление зависят от расположения точки приложения относительно центра Земли. Поэтому при расчете траектории полета, например с Земли на Луну, его считают связанным вектором. Однако в задаче о движении снаряда при стрельбе на небольшую по сравнению с радиусом Земли дальность изменения вектора ускорения земного притяжения вдоль траектории снаряда незначительны и его принимают постоянным по модулю и направленным вертикально вниз, т.е. считают свободным вектором. Учет кривизны поверхности Земли приведет к необходимости считать этот вектор уже скользящим, т.е. постоянным при перемещениях лишь вдоль радиуса к центру Земли.

Замечание 1.1. Многие понятия, связанные с геометрическими векторами, переносятся и на свободные векторы. Так, говорят о начале (точке приложения) вектора, конце вектора, модуле (длине) вектора. Рассматривают векторы ненулевые (включая единичные, или орты) и нулевые (нуль-векторы), векторы коллинеарные и векторы компланарные. Коллинеарные векторы могут быть однонаправленными (сонаправленными) и противоположно направленными.